Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла v?

Чтобы найти максимальную высоту подъема шарика математического маятника, воспользуемся принципом сохранения механической энергии. В момент, когда шарик проходит положение равновесия, вся его энергия представлена кинетической энергией, а в момент максимального подъема — потенциальной энергией.

Кинетическая энергия \( E_k \) в позиции равновесия рассчитывается по формуле: \[ E_k = \frac{1}{2}mv^2, \] где \( m \) — масса шарика, а \( v \) — его скорость в положении равновесия.

Потенциальная энергия \( E_p \) на максимальной высоте определяется следующим образом: \[ E_p = mgh, \] где \( g \) — ускорение свободного падения (примерно \( 9.81 \, \text{м/с}^2 \)), а \( h \) — максимальная высота подъема.

По принципу сохранения энергии мы можем приравнять эти две энергии: \[ \frac{1}{2}mv^2 = mgh. \]

Теперь можно сократить массу \( m \) с обеих сторон уравнения (при условии, что она не равна нулю): \[ \frac{1}{2}v^2 = gh. \]

Перепишем уравнение для нахождения высоты \( h \): \[ h = \frac{v^2}{2g}. \]

Таким образом, максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость в положении равновесия составляет \( v \), равна \[ h = \frac{v^2}{2g}. \]