x(x-3)(x+4)<0

Чтобы решить неравенство \( x(x-3)(x+4) < 0 \), начнем с определения корней соответствующего уравнения \( x(x-3)(x+4) = 0 \).

1. Найдем корни:
   • \( x = 0 \)
   • \( x - 3 = 0 \) => \( x = 3 \)
   • \( x + 4 = 0 \) => \( x = -4 \)

Таким образом, корни неравенства: \( x = -4, 0, 3 \).

2. Теперь определим знаки выражения \( x(x-3)(x+4) \) на интервалах, разделённых найденными корнями:

   • Интервал \( (-\infty, -4) \)
   • Интервал \( (-4, 0) \)
   • Интервал \( (0, 3) \)
   • Интервал \( (3, +\infty) \)

3. Проверим знак на каждом интервале:

   • Для интервала \( (-\infty, -4) \), например, возьмем \( x = -5 \): \[ (-5)(-5-3)(-5+4) = (-5)(-8)(-1) = -40 \quad \text{(отрицательное)} \]
   • Для интервала \( (-4, 0) \), например, возьмем \( x = -1 \): \[ (-1)(-1-3)(-1+4) = (-1)(-4)(3) = 12 \quad \text{(положительное)} \]
   • Для интервала \( (0, 3) \), например, возьмем \( x = 1 \): \[ (1)(1-3)(1+4) = (1)(-2)(5) = -10 \quad \text{(отрицательное)} \]
   • Для интервала \( (3, +\infty) \), например, возьмем \( x = 4 \): \[ (4)(4-3)(4+4) = (4)(1)(8) = 32 \quad \text{(положительное)} \]

4. Теперь мы можем определить, где \( x(x-3)(x+4) < 0 \):

   • Отрицательные значения мы получили на интервалах \( (-\infty, -4) \) и \( (0, 3) \).

5. Включение или исключение корней. Так как неравенство строгое \( < 0 \), сами корни не входят в решение.

Итак, окончательный ответ: \[ x \in (-\infty, -4) \cup (0, 3) \]