В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты 1/3. Объём жидкости равен 810 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

Чтобы определить, сколько миллилитров жидкости нужно долить, сначала найдем общий объем конуса. Известно, что объем жидкости при высоте 1/3 равен 810 мл.

Объем конуса можно определить по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h, \] где \( r \) — радиус основания конуса, а \( h \) — его высота.

Если уровень жидкости достигает 1/3 высоты конуса, то высота жидкости \( h_j = \frac{h}{3} \). Подставим это значение в формулу объема для жидкости: \[ V_j = \frac{1}{3} \pi r_j^2 \frac{h}{3}, \] где \( r_j \) — радиус уровня жидкости, который пропорционален радиусу основания конуса, так как конус имеет подобные треугольники.

Поскольку мы знаем, что объем жидкости \( V_j = 810 \) мл, перепишем уравнение: \[ 810 = \frac{1}{3} \pi r_j^2 \frac{h}{3}. \]

Подставляя соотношение радиусов: \[ r_j = r \cdot \frac{h_j}{h} = r \cdot \frac{1/3}{1} = \frac{r}{3}. \]

Теперь подставляем \( r_j \) в уравнение объема: \[ 810 = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r}{3}\right)^2 \frac{h}{3}. \] Упростим это уравнение: \[ 810 = \frac{1}{3} \pi \frac{r^2}{9} \frac{h}{3}, \] \[ 810 = \frac{\pi r^2 h}{81}. \]

Таким образом, общая формула для объема конуса будет: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = 27 \cdot 810 = 21870 \text{ мл}. \]

Теперь, чтобы заполнить сосуд доверху, нужно добавить: \[ V - V_j = 21870 - 810 = 21060 \text{ мл}. \]

Таким образом, нужно долить 21060 мл жидкости, чтобы наполнить сосуд доверху.