Сторона прямоугольника относится к его диагонали, как 12 : 13 а другая сторона равна 10. Найдите площадь прямоугольника.
Давай решим эту задачу вместе!
У нас есть прямоугольник, в котором одна сторона равна 10, а отношение другой стороны к диагонали составляет 12 : 13.
- Обозначим стороны прямоугольника как \(a\) и \(b\), где \(b = 10\).
- Диагональ прямоугольника можно найти через теорему Пифагора: \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\).
- По условию, отношение \(a\) к диагонали \(d\) равно \(12/13\).
Теперь решим уравнение:
\[ \frac{a}{d} = \frac{12}{13} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{12}{13} \cdot \sqrt{a^2 + 10^2} \]
- Подставляем \(b = 10\) в уравнение Пифагора:
\[ a = \frac{12}{13} \cdot \sqrt{a^2 + 100} \]
Квадрат левой и правой части уравнения позволит убрать квадратный корень:
\[ a^2 = \left(\frac{12}{13}\right)^2 \cdot (a^2 + 100) \]
- Упростим уравнение:
\[ a^2 = \frac{144}{169} \cdot a^2 + \frac{14400}{169} \]
Умножаем на 169, чтобы убрать дроби:
\[ 169a^2 = 144a^2 + 14400 \]
- Решаем полученное уравнение:
\[ 25a^2 = 14400 \quad \Rightarrow \quad a^2 = \frac{14400}{25} \]
- Вычисляем сторону \(a\):
\[ a = \sqrt{\frac{14400}{25}} = \sqrt{576} = 24 \]
- Наконец, найдем площадь прямоугольника:
Площадь = \(a \times b = 24 \times 10 = 240\).
Так что площадь прямоугольника равна 240.
