Дан бесконечный квадрат с резисторами. Сопротивление одной грани- r Найти общее сопротивление цепи
Для решения данной задачи о бесконечном квадрате с резисторами, давайте представим, что у нас есть сеть из резисторов, расположенных в виде квадратов. Каждая сторона квадрата имеет сопротивление \( r \).
Поскольку структура является бесконечной, мы можем использовать подход, основанный на симметрии и эквивалентном сопротивлении.
Предположим, что частью сети является один квадрат. В каждом квадрате четыре резистора, каждый с сопротивлением \( r \). Если мы посмотрим на одну сторону, два резистора будут параллельно друг другу, а два других в той же конфигурации, но на соседней стороне.
Найдём эквивалентное сопротивление одного квадрата. Обозначим эквивалентное сопротивление всего бесконечного решения как \( R \). Внутри одного квадрата два резистора будут параллельно, что даст нам:
\[ R_{параллельно} = \frac{r \cdot r}{r + r} = \frac{r}{2} \]
Теперь займемся резисторами, соединёнными последовательно. У нас есть ещё два резистора, каждый по \( r \), соединённые последовательно:
\[ R_{эквивалент} = R_{параллельно} + r = \frac{r}{2} + r = \frac{3r}{2} \]
Тепер учтем бесконечную природу. Поскольку структура повторяется, мы можем выразить полное сопротивление \( R \) также через \( \frac{3r}{2} \):
\[ R = r + \frac{3R}{4} \]
Здесь \( r \) – это одно из сторон, а \( \frac{3R}{4} \) – эквивалентное сопротивление остальной части.
Решим это уравнение для \( R \):
\[ R - \frac{3R}{4} = r \]
\[ \frac{1R}{4} = r \quad \Rightarrow \quad R = 4r \]
Таким образом, общее сопротивление бесконечной цепи резисторов в данной конфигурации составляет \( 4r \).
