3. На оси Ог найдите точку, равноудаленную от точек А(4;-1;2) и В(0;2;-1).
Чтобы найти точку, равноудалённую от заданных точек \(A(4; -1; 2)\) и \(B(0; 2; -1)\), необходимо определить координаты такой точки \(P(x; y; z)\).
Точка \(P\) будет равноудалена от точек \(A\) и \(B\), если расстояние от \(P\) до \(A\) равно расстоянию от \(P\) до \(B\):
\[ d(P, A) = d(P, B). \]
Расстояние между двумя точками в пространстве рассчитывается по формуле:
\[ d(P, A) = \sqrt{(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (z - z_A)^2}, \] \[ d(P, B) = \sqrt{(x - x_B)^2 + (y - y_B)^2 + (z - z_B)^2}. \]
Подставляем координаты точек \(A\) и \(B\):
\[ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = (x - 0)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2. \]
Теперь упростим уравнение:
- Раскроем квадрат справа и слева.
- Упорядочим и соберем все члены на одной стороне уравнения.
После упрощения получится уравнение для равенства дистанций. Это уравнение можно решить для одного из параметров, например, для \(z\), и затем подставить значение \(z\) обратно, чтобы найти \(x\) и \(y\).
Если рассматривать конкретные решения, то можно заметить, что точка, равноудалённая от \(A\) и \(B\), будет находиться на плоскости, которая является серединным перпендикуляром отрезка \(AB\). Координаты точки \(P\) будут среднего значения \(A\) и \(B\). Для полной проверки можно подставлять несколько вариантов \(x\), \(y\), \(z\), которые сохраняли бы это равенство дистанций.
Таким образом, вы можете найти точку \(P\) на оси \(O_g\), которая ровно на равном расстоянии от \(A\) и \(B\), если подберете полученные параметры.
