3. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ…
3. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,8. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что 76% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Для решения задачи воспользуемся теорией вероятностей и формулой полной вероятности.
Обозначим события:
- \( H \) — пациент болен гепатитом.
- \( \neg H \) — пациент не болен гепатитом.
- \( P \) — анализ даёт положительный результат.
Из условия задачи у нас есть следующие данные:
- \( P(H) = 0.76 \) (вероятность, что пациент болен гепатитом);
- \( P(\neg H) = 1 - P(H) = 0.24 \) (вероятность, что пациент не болен гепатитом);
- \( P(P | H) = 0.8 \) (вероятность положительного результата анализа при наличии болезни);
- \( P(P | \neg H) = 0.02 \) (вероятность ложного положительного результата при отсутствии болезни).
По формуле полной вероятности, вероятность того, что анализ будет положительным, можно найти как:
\[ P(P) = P(P | H) \cdot P(H) + P(P | \neg H) \cdot P(\neg H) \]
Подставляем известные значения:
\[ P(P) = (0.8 \cdot 0.76) + (0.02 \cdot 0.24) \]
Теперь вычислим каждую часть:
- \( 0.8 \cdot 0.76 = 0.608 \)
- \( 0.02 \cdot 0.24 = 0.0048 \)
Теперь складываем результаты:
\[ P(P) = 0.608 + 0.0048 = 0.6128 \]
Таким образом, вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным, составляет \( 0.6128 \) или 61.28%.
