Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, TO результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт…
Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, TO результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,8. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что 76% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего положительным.
Давайте обозначим события:
- \( H \): пациент болен гепатитом.
- \( P \): результат анализа положительный.
Известные данные:
- \( P(P|H) = 0,8 \) (вероятность положительного результата, если пациент болен).
- \( P(P|\neg H) = 0,02 \) (вероятность положительного результата, если пациент не болен).
- \( P(H) = 0,76 \) (вероятность того, что пациент болен гепатитом).
- \( P(\neg H) = 1 - P(H) = 0,24 \) (вероятность того, что пациент не болен).
Нам нужно найти \( P(H|P) \), вероятность того, что пациент болен гепатитом, если результат анализа положительный. Для этого используем теорему Байеса:
\[ P(H|P) = \frac{P(P|H) \cdot P(H)}{P(P)} \]
Теперь мы должны найти \( P(P) \) - полную вероятность положительного результата анализа:
\[ P(P) = P(P|H) \cdot P(H) + P(P|\neg H) \cdot P(\neg H) \]
Подставим известные значения:
\[ P(P) = (0,8 \cdot 0,76) + (0,02 \cdot 0,24) \]
Вычислим это:
- \( 0,8 \cdot 0,76 = 0,608 \)
- \( 0,02 \cdot 0,24 = 0,0048 \)
- \( P(P) = 0,608 + 0,0048 = 0,6128 \)
Теперь подставим \( P(P) \) обратно в формулу Байеса:
\[ P(H|P) = \frac{0,8 \cdot 0,76}{0,6128} \]
Вычислим числитель:
\[ 0,8 \cdot 0,76 = 0,608 \]
Теперь подставим:
\[ P(H|P) = \frac{0,608}{0,6128} \approx 0,992 \]
Итак, вероятность того, что пациент больен гепатитом, если результат анализа положительный, составляет примерно 0,992 или 99,2%.
