// (2y-x) dxdy, где D- внутренняя часть круга x²+y²=4
Чтобы решить задачу, давайте разберемся, что именно требуется найти. Выражение \((2y - x) dx\,dy\) предполагает использование двойного интеграла, а область интегрирования \(D\) определяется внутренней частью круга, заданного уравнением \(x^2 + y^2 = 4\).
Определение области интегрирования: Круг с радиусом 2 (поскольку \(4 = 2^2\)) и центром в начале координат. Поэтому область, где \(D\) — это все точки \((x, y)\), которые удовлетворяют неравенству \(x^2 + y^2 \leq 4\).
Переход в полярные координаты: Удобнее всего интегрировать по кругу в полярных координатах. В полярных координатах \(x = r \cos \theta\) и \(y = r \sin \theta\), где \(r\) — расстояние от начала координат, а \(\theta\) — угол. Поскольку \(r\) варьируется от 0 до 2 (радиус круга), а \(\theta\) — от 0 до \(2\pi\).
Двойной интеграл: Теперь преобразуем интеграл: \[ \int_0^{2\pi} \int_0^2 (2(r \sin \theta) - (r \cos \theta)) r\,dr\,d\theta. \]
Упрощение подынтегральной функции: \[ (2(r \sin \theta) - (r \cos \theta)) r = (2r \sin \theta - r \cos \theta) r = 2r^2 \sin \theta - r^2 \cos \theta. \]
Разделим интеграл на два: \[ \int_0^{2\pi} \int_0^2 (2r^2 \sin \theta\,dr\,d\theta) - \int_0^{2\pi} \int_0^2 (r^2 \cos \theta\,dr\,d\theta). \]
Теперь вычислим каждый интеграл по отдельности.
Для первого интеграла: \[ \int_0^{2\pi} \sin \theta\,d\theta \cdot \int_0^2 2r^2\,dr = \int_0^{2\pi} \sin \theta\,d\theta \cdot \left[ \frac{2r^3}{3} \right]_0^2 = \int_0^{2\pi} \sin \theta\,d\theta \cdot \frac{16}{3}. \] Здесь \(\int_0^{2\pi} \sin \theta\,d\theta = 0\), так что этот интеграл равен нулю.
Для второго интеграла: \[ \int_0^{2\pi} \cos \theta\,d\theta \cdot \int_0^2 r^2\,dr = \int_0^{2\pi} \cos \theta\,d\theta \cdot \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^2 = \int_0^{2\pi} \cos \theta\,d\theta \cdot \frac{8}{3}. \] Здесь \(\int_0^{2\pi} \cos \theta\,d\theta = 0\).
Таким образом, оба интеграла равны нулю. Следовательно, когда мы складываем их, результирующий интеграл по области \(D\): \[ \iint_D (2y - x)\,dx\,dy = 0. \]
Если у вас возникнут дополнительные вопросы или вам понадобятся уточнения, не стесняйтесь задавать!
