Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет грань с 3 очками. Какая вероятность то, что тройка выпадет хотя бы один раз?

Для решения этой задачи, давайте сначала рассмотрим, какова вероятность того, что тройка не выпадет за один бросок игральной кости.

Игральная кость имеет 6 граней, и только одна из них — грань с 3 очками. Следовательно, вероятность того, что тройка не выпадет в одном броске, равна:

\[ P(\text{не тройка}) = \frac{5}{6} \]

Мы продолжаем бросать кость до тех пор, пока не выпадет тройка. Таким образом, вероятность того, что тройка не выпадет за \( n \) бросков, будет равна:

\[ P(\text{не тройка за } n \text{ бросков}) = \left(\frac{5}{6}\right)^n \]

Теперь, чтобы найти вероятность того, что тройка выпадет хотя бы один раз, мы можем использовать правило дополнения. Вероятность того, что тройка выпадет хотя бы один раз, равна 1 минус вероятность того, что тройка не выпадет ни разу за все броски. При бесконечном количестве бросков эта вероятность стремится к нулю, так как вероятность того, что она не выпадет ни разу, уменьшается с каждым броском.

Таким образом, вероятность того, что тройка выпадет хотя бы один раз, равна:

\[ P(\text{тройка хотя бы раз}) = 1 - P(\text{не тройка за } n \text{ бросков}) \]

В пределе, когда \( n \) стремится к бесконечности, мы получаем:

\[ P(\text{тройка хотя бы раз}) = 1 - 0 = 1 \]

Это означает, что если продолжать бросать кубик бесконечно долго, тройка выпадет хотя бы один раз с вероятностью 1.