найдите производную функции 4. у=5х/1+х^2 5. у=(х^2-5х+8) ^6 6. у=√х^2+1 7. у=arctg5x 8. y=sin^2 6x
Конечно! Давайте по порядку найдем производные указанных функций.
Функция: \( y = \frac{5x}{1+x^2} \)
Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся правилом дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(1+x^2) \cdot 5 - 5x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} \] Упрощая, получим: \[ y' = \frac{5 + 5x^2 - 10x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{5 - 5x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{5(1-x^2)}{(1+x^2)^2} \]Функция: \( y = (x^2 - 5x + 8)^6 \)
Здесь будем использовать правило дифференцирования сложной функции (правило цепочки): \[ y' = 6(x^2 - 5x + 8)^5 \cdot (2x - 5) \]Функция: \( y = \sqrt{x^2 + 1} \)
Сначала представим функцию в степени: \[ y = (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}} \] Теперь находим производную: \[ y' = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]Функция: \( y = \arctan(5x) \)
Для этой функции используем правило дифференцирования арктангенса: \[ y' = \frac{5}{1+(5x)^2} = \frac{5}{1 + 25x^2} \]Функция: \( y = \sin^2(6x) \)
Здесь также используем правило цепочки. Сначала применим производную синуса и затем применим правило для степени: \[ y' = 2\sin(6x) \cdot \cos(6x) \cdot 6 = 12\sin(6x)\cos(6x) \] Воспользуемся формулой \( \sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a) \), получим: \[ y' = 6\sin(12x) \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более глубокое объяснение, не стесняйтесь спрашивать!
