Если двухзначное число разделить на число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то в частном получится 4, а в остатке 3. Если же это число разделить на сумму его…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим двузначное число как \( 10a + b \), где \( a \) — цифра десятков, а \( b \) — цифра единиц. Поскольку это двузначное число, \( a \) может принимать значения от 1 до 9, а \( b \) от 0 до 9.

Сначала рассмотрим условие о делении на число, записанное в обратном порядке (то есть \( 10b + a \)):

\[ \frac{10a + b}{10b + a} = 4 \quad \text{и остаток } 3 \]

Это означает, что:

\[ 10a + b = 4(10b + a) + 3 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ 10a + b = 40b + 4a + 3 \]

\[ 10a - 4a = 40b - b + 3 \]

\[ 6a = 39b + 3 \]

Можем привести это уравнение к следующему виду:

\[ 2a = 13b + 1 \quad \text{(уравнение 1)} \]

Теперь перейдем ко второму условию, которое говорит, что если число разделить на сумму его цифр (\( a + b \)), то в частном получится 8, а в остатке 7:

\[ \frac{10a + b}{a + b} = 8 \quad \text{и остаток } 7 \]

Это означает, что:

\[ 10a + b = 8(a + b) + 7 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 10a + b = 8a + 8b + 7 \]

\[ 10a - 8a = 8b - b + 7 \]

\[ 2a = 7b + 7 \quad \text{(уравнение 2)} \]

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. \( 2a = 13b + 1 \)
2. \( 2a = 7b + 7 \)

Поскольку левая сторона одинакова, приравняем правые стороны:

\[ 13b + 1 = 7b + 7 \]

Теперь упростим это уравнение:

\[ 13b - 7b = 7 - 1 \]

\[ 6b = 6 \]

Отсюда получаем:

\[ b = 1 \]

Подставим значение \( b = 1 \) в любое из уравнений, например в уравнение 2:

\[ 2a = 7(1) + 7 \] \[ 2a = 7 + 7 \] \[ 2a = 14 \implies a = 7 \]

Таким образом, мы находим, что \( a = 7 \) и \( b = 1 \).

Следовательно, двузначное число:

\[ 10a + b = 10 \cdot 7 + 1 = 71 \]

Теперь проверим условия задачи:

1. \( 71 \div 17 = 4 \) и остаток 3. (Проверка: \( 71 = 4 \cdot 17 + 3 \)).
2. \( 71 \div (7 + 1) = 71 \div 8 = 8 \) и остаток 7. (Проверка: \( 71 = 8 \cdot 8 + 7 \)).

Таким образом, искомое двузначное число — это 71.