Является ли пара чисел (-1; 3) решением системы уравнений: a) x^ 2 = sqrt y-2 ,\\ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 ; 6) 3x=-y,\\ x ^ 2 + (2 - y) ^ 2 = - 2 4. Разность двух чисел равна 5, а их…
Является ли пара чисел (-1; 3) решением системы уравнений: a) x^ 2 = sqrt y-2 ,\\ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 ; 6) 3x=-y,\\ x ^ 2 + (2 - y) ^ 2 = - 2 4. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 66. Найдите эти числа. 5. Лодка проходит путь в 30 км по течению реки за 2 часа, а против течения реки за 3 часа. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.
Давайте рассмотрим каждый из ваших вопросов по порядку.
Пара чисел (-1; 3) — это решение системы уравнений:
a) \( x^2 = \sqrt{y - 2} \) и \( x^2 + y^2 = 10 \)
Подставим \( x = -1 \) и \( y = 3 \) в оба уравнения.
Для первого уравнения: \[ x^2 = (-1)^2 = 1 \] \[ \sqrt{y - 2} = \sqrt{3 - 2} = \sqrt{1} = 1 \] Оба значения равны, значит, первое уравнение выполнено.
Теперь проверим второе уравнение: \[ x^2 + y^2 = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \] Оба значения равны, следовательно, второе уравнение также выполнено.
Таким образом, пара чисел (-1; 3) является решением данной системы уравнений.
Система уравнений:
- \( 3x = -y \) и \( x^2 + (2 - y)^2 = -2 \)
Подставим \( y = -3x \) из первого уравнения во второе:
\[ x^2 + (2 - (-3x))^2 = -2 \] Это упрощается до: \[ x^2 + (2 + 3x)^2 = -2 \]
Однако, если охватить квадрат, у нас не может быть отрицательное значение в правой части уравнения. Следовательно, система не имеет решений.
Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 66. Найдите эти числа.
Обозначим два числа как \( x \) и \( y \).
Из условия разности: \[ x - y = 5 \quad (1) \] Из условия произведения: \[ xy = 66 \quad (2) \]
Выразим \( x \) из первого уравнения: \[ x = y + 5 \]
Подставим это выражение во второе уравнение: \[ (y + 5)y = 66 \] Упростим: \[ y^2 + 5y - 66 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-66) = 25 + 264 = 289 \]
Находим корни: \[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-5 \pm 17}{2} \] Получаем два возможных решения: \[ y_1 = \frac{12}{2} = 6, \quad y_2 = \frac{-22}{2} = -11 \] Тогда: \[ x_1 = 6 + 5 = 11, \quad x_2 = -11 + 5 = -6 \]
Итак, пары чисел — (11, 6) и (-6, -11).
Лодка проходит путь в 30 км по течению реки за 2 часа, а против течения реки за 3 часа. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.
Обозначим:
- \( v \) — собственная скорость лодки,
- \( c \) — скорость течения реки.
По течению: \[ \frac{30}{v + c} = 2 \implies v + c = 15 \quad (1) \]
Против течения: \[ \frac{30}{v - c} = 3 \implies v - c = 10 \quad (2) \]
Сложим уравнения (1) и (2): \[ (v + c) + (v - c) = 15 + 10 \implies 2v = 25 \implies v = 12.5 \]
Теперь подставим значение \( v \) в одно из уравнений. Например, в (1): \[ 12.5 + c = 15 \implies c = 2.5 \]
Таким образом, собственная скорость лодки \( v = 12.5 \) км/ч, а скорость течения реки \( c = 2.5 \) км/ч.
Если у вас есть другие вопросы или нужны дополнительные объяснения, пожалуйста, дайте знать!
