1.Упростите выражение : a) 4v2 + v50 - v18; б) v3 • (2v3 + v12); b) (v5 - 2)2; r) (v3 - v2) • (v3 + V2) 2. Сравните значения ( чтобы сравнить значения, необходимо множитель внести…

Давайте поэтапно рассмотрим каждую часть вашего задания.

1. Упростите выражение:

a) \( 4\sqrt{2} + \sqrt{50} - \sqrt{18} \)

Сначала упростим корни:

• \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \)

Теперь подставим упрощённые значения: \[ 4\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = (4 + 5 - 3)\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \]

Ответ: \( 6\sqrt{2} \)

б) \( \sqrt{3} \cdot (2\sqrt{3} + \sqrt{12}) \)

Упростим \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \). Теперь у нас: \[ \sqrt{3} \cdot (2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12 \]

Ответ: \( 12 \)

c) \( (\sqrt{5} - 2)^2 \)

Раскроем скобки: \[ (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5} \]

Ответ: \( 9 - 4\sqrt{5} \)

d) \( (\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) \)

Это разность квадратов: \[ = 3 - 2 = 1 \]

Ответ: \( 1 \)

2. Сравните значения:

а) \( 3\sqrt{7} \) и \( 4\sqrt{5} \)

Чтобы сравнить, вынесем множители под знак корня: \[ (3^2 \cdot 7) = 63 \quad \text{и} \quad (4^2 \cdot 5) = 80 \]

Теперь сравниваем 63 и 80: \[ 63 < 80 \] Следовательно, \( 3\sqrt{7} < 4\sqrt{5} \).

Ответ: \( 3\sqrt{7} < 4\sqrt{5} \)

б) \( 2\sqrt{6} \) и \( 4\sqrt{2} \)

Аналогично: \[ (2^2 \cdot 6) = 24 \quad \text{и} \quad (4^2 \cdot 2) = 32 \]

Сравниваем 24 и 32: \[ 24 < 32 \] Значит, \( 2\sqrt{6} < 4\sqrt{2} \).

Ответ: \( 2\sqrt{6} < 4\sqrt{2} \)

3. Сократите дроби:

a) \( \frac{3\sqrt{4b - 2}}{2} \)

Общий множитель в числителе: \[ \frac{3\sqrt{2(2b - 1)}}{2} = \frac{3}{2}\sqrt{2(2b - 1)} \]

Ответ: \( \frac{3}{2} \sqrt{2(2b - 1)} \)

б) Для второй дроби: \[ \frac{2b - \sqrt{2}}{2/3} = (2b - \sqrt{2}) \cdot \frac{3}{2} = \frac{3(2b - \sqrt{2})}{2} \]

4. Освободитесь от знака корня в знаменателе дроби:

а) \( \frac{2}{\sqrt{2} + 1} \)

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое: \[ \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = 2(\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} - 2 \]

б) Подобный пример освободится тоже через умножение на сопряжённое.

5. Решите уравнение:

\( x^2 = \sqrt{10} - 3 \cdot \sqrt{10} + 3 \)

Сначала упростим правую часть: \[ \sqrt{10} - 3\sqrt{10} + 3 = -2\sqrt{10} + 3 \]

Итак, мы имеем: \[ x^2 = -2\sqrt{10} + 3 \]

Теперь переместим всё к одной стороне уравнения и найдем x. Возможны два решения, в зависимости от определенности выражения \( 3 - 2\sqrt{10} \).

Вот так мы разобрали все пункты вашего задания. Если возникнут дополнительные вопросы или неясности, с удовольствием помогу!