Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «физик» играет три матча с разными командами. Найдите…

Чтобы найти вероятность того, что команда «физик» выиграет жребий ровно один раз из трех матчей, мы можем использовать биномиальное распределение.

Сначала определим события:

• Вероятность того, что «физик» выиграет жребий, равна 1/2.
• Вероятность того, что «физик» не выиграет жребий, также равна 1/2.

Обозначим:

• \( p = \frac{1}{2} \) — вероятность выигрыша жребия,
• \( q = \frac{1}{2} \) — вероятность проигрыша жребия,
• \( n = 3 \) — общее количество матчей,
• \( k = 1 \) — количество выигранных жребиев.

Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит так:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Теперь подставим наши значения:

1. Вычислим биномиальный коэффициент \( C(3, 1) \):

\[ C(3, 1) = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times (2 \times 1)} = 3 \]

2. Теперь подставим все значения в формулу вероятности:

\[ P(X = 1) = C(3, 1) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3-1} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{4}\right) = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \]

Таким образом, вероятность того, что команда «физик» выиграет жребий ровно один раз из трех матчей, равна \( \frac{3}{8} \).