МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНия и волнЫ. ЗВУК 41. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 41.1. Каково ускорение свободного падения на планете, если за время 120 с гаечный ключ, опущенный на нити длиной 1…
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНия и волнЫ. ЗВУК 41. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 41.1. Каково ускорение свободного падения на планете, если за время 120 с гаечный ключ, опущенный на нити длиной 1 = 2 м из люка «приземлившегося космическо- го корабля, совершили 5 полных колебаний? 4,9 м/с. Решение. Гаечный ключ на нити можно рассматривать как математический маятник с периодом колебаний 727 g Поскольку Т, получаем в 71 41.2. Пружинный маятник совершил за некоторое время п - 16 колебаний. Когда массу груза увеличили на Атm = - 200 г, маятник совершил за такое же время п. 15 ко- лебаний. Какова была начальная масса груза?
Давайте подробно разберём оба пункта.
41.1. Ускорение свободного падения
Для решения задачи о гаечном ключе, который раскачивается как математический маятник, нужно использовать формулу для периода колебаний математического маятника: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \] где:
- \( T \) — период колебаний,
- \( L \) — длина нити (в данном случае 2 м),
- \( g \) — ускорение свободного падения.
Сначала найдем период колебаний, который равен времени, за которое было совершено 5 полных колебаний. Если время равно 120 с, то период можно вычислить как: \[ T = \frac{120 \, \text{с}}{5} = 24 \, \text{с}. \]
Теперь подставим известные значения в формулу для периода: \[ 24 = 2\pi \sqrt{\frac{2}{g}}. \]
Решим это уравнение для \( g \): \[ 24 = 2\pi \sqrt{\frac{2}{g}} \quad \Rightarrow \quad 12 = \pi \sqrt{\frac{2}{g}} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{\frac{2}{g}} = \frac{12}{\pi}. \]
Теперь возводим обе стороны в квадрат: \[ \frac{2}{g} = \left(\frac{12}{\pi}\right)^2 \quad \Rightarrow \quad g = \frac{2 \pi^2}{144} = \frac{\pi^2}{72} \approx 9,81 \, \text{м/с}^2. \]
Таким образом, ускорение свободного падения на планете примерно равно 9,81 м/с².
41.2. Определение начальной массы груза
В этой задаче у нас есть пружинный маятник, который вначале совершил 16 колебаний, а после увеличения массы на 200 г — 15 колебаний за то же время.
Используем формулу для периода колебаний пружинного маятника: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}, \] где \( m \) — масса груза, \( k \) — жёсткость пружины.
Обозначим начальную массу груза как \( m_0 \) (в граммах). В первой ситуации период колебаний можно выразить как: \[ T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_0}{k}}. \]
Во второй ситуации, когда масса увеличилась на 200 г, масса становится \( m_0 + 200 \), и новый период будет: \[ T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_0 + 200}{k}}. \]
Поскольку время колебаний остаётся одинаковым, мы можем сравнить их, используя количество колебаний: \[ \frac{T_1}{T_2} = \frac{16}{15}. \]
Это приведёт нас к соотношению: \[ \sqrt{\frac{m_0 + 200}{m_0}} = \frac{16}{15}. \]
Теперь возведём обе стороны в квадрат: \[ \frac{m_0 + 200}{m_0} = \left(\frac{16}{15}\right)^2 \quad \Rightarrow \quad m_0 + 200 = m_0 \cdot \frac{256}{225}. \]
Приведём все к одному уравнению: \[ m_0 \cdot \frac{256}{225} - m_0 = 200 \quad \Rightarrow \quad m_0 \left(\frac{256}{225} - 1\right) = 200. \]
Упростим выражение: \[ m_0 \cdot \frac{31}{225} = 200 \quad \Rightarrow \quad m_0 = \frac{200 \cdot 225}{31} \approx 1612,90 \, \text{г}. \]
Таким образом, начальная масса груза была approximately 1612,90 г.
Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите рассмотреть другие темы, не стесняйтесь обращаться!
