МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНия и волнЫ. ЗВУК 41. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 41.1. Каково ускорение свободного падения на планете, если за время 120 с гаечный ключ, опущенный на нити длиной 1…
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНия и волнЫ. ЗВУК 41. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 41.1. Каково ускорение свободного падения на планете, если за время 120 с гаечный ключ, опущенный на нити длиной 1 = 2 м из люка «приземлившегося космическо- го корабля, совершили 5 полных колебаний? 4,9 м/с. Решение. Гаечный ключ на нити можно рассматривать как математический маятник с периодом колебаний 727 g Поскольку Т, получаем в 71 41.2. Пружинный маятник совершил за некоторое время п - 16 колебаний. Когда массу груза увеличили на Атm = - 200 г, маятник совершил за такое же время п. 15 ко- лебаний. Какова была начальная масса груза?
Давайте разберем каждый вопрос по очереди.
41.1. Ускорение свободного падения
Ваша задача состоит в том, чтобы определить ускорение свободного падения на планете, где гаечный ключ, подвешенный на нити, совершил 5 полных колебаний за 120 секунд на длине нити 2 метра.
Для начала, мы можем использовать формулу периода колебаний математического маятника:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]
где:
- \( T \) — период колебания,
- \( L \) — длина нити (2 м),
- \( g \) — ускорение свободного падения.
Чтобы найти период \( T \), мы сначала найдем его, зная, что за 5 колебаний маятник прошел 120 секунд:
\[ T = \frac{120 \, \text{с}}{5} = 24 \, \text{с} \]
Теперь подставляем это значение в формулу периода:
\[ 24 = 2\pi \sqrt{\frac{2}{g}} \]
Далее решим это уравнение относительно \( g \):
- Перевая часть уравнения разделим на \( 2\pi \):
\[ \frac{24}{2\pi} = \sqrt{\frac{2}{g}} \]
- Возведем обе стороны в квадрат:
\[ \left(\frac{24}{2\pi}\right)^2 = \frac{2}{g} \]
- Упростим это уравнение:
\[ \frac{576}{4\pi^2} = \frac{2}{g} \]
- Умножим обе стороны на \( g \) и затем на \( 4\pi^2 \):
\[ 576g = 8\pi^2 \]
- Разделим обе стороны на 576:
\[ g = \frac{8\pi^2}{576} \]
- Примерно посчитаем это значение:
Приближенное значение \( \pi \) равно 3,14, поэтому:
\[ \pi^2 \approx 9.86 \]
Следовательно:
\[ g \approx \frac{8 \cdot 9.86}{576} \approx \frac{78.88}{576} \approx 0.137\, \text{м/с}^2 \]
Однако, этот результат кажется слишком малым, так как ускорение свободного падения обычно примерно 9.8 м/с² на Земле. Это может указывать на ошибку в расчетах или интерпретации.
41.2. Система пружинного маятника
У нас есть пружинный маятник, который совершил 16 колебаний с начальной массой, а после увеличения массы на 200 г (0.2 кг) он совершил 15 колебаний за то же время.
Период колебания пружинного маятника определяется как:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]
где:
- \( m \) — масса груза,
- \( k \) — жесткость пружины.
Пусть \( m_0 \) — начальная масса груза. Для двух случаев у нас есть:
Для начальной массы \( m_0 \): \[ T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m_0}{k}} \] Колебания \( n_0 = 16 \)
Для массы \( m_0 + 0.2 \): \[ T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_0 + 0.2}{k}} \] Колебания \( n_1 = 15 \)
Поскольку время, за которое выполняются колебания, одинаковое, можно записать пропорцию для периодов:
\[ \frac{n_0}{n_1} = \frac{T_1}{T_0} \]
Подставляя значения:
\[ \frac{16}{15} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{m_0 + 0.2}{k}}}{2\pi \sqrt{\frac{m_0}{k}}} \]
Упростим:
\[ \frac{16}{15} = \sqrt{\frac{m_0 + 0.2}{m_0}} \]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
\[ \left(\frac{16}{15}\right)^2 = \frac{m_0 + 0.2}{m_0} \]
Решение этого уравнения приведет к:
\[ \frac{256}{225} = \frac{m_0 + 0.2}{m_0} \]
Перемножив:
\[ 256m_0 = 225m_0 + 45 \]
Упростив, мы получаем:
\[ 31m_0 = 45 \]
Следовательно,
\[ m_0 = \frac{45}{31} \approx 1.45 \, \text{кг}. \]
Таким образом, начальная масса груза составляла примерно 1.45 кг.
Если у вас есть вопросы или требуется дополнительная информация по этим темам, не стесняйтесь спрашивать!
