Вычисли периметр треугольника ВАС и сторону ВА, если CF - медиана, CB = AC = 120 см и FA = 80 см.

Для вычисления периметра треугольника ВАС и стороны ВА, используя данную информацию, начнем с разбора задачи.

У нас есть треугольник ВАС, где CF - медиана, что означает, что она делит сторону AB пополам. У нас также есть следующие данные:

• CB = AC = 120 см
• FA = 80 см (где F - середина стороны AB, так как CF - медиана)

Обозначим стороны треугольника следующим образом:

• AB = c (это то, что мы ищем)
• AC = b = 120 см
• CB = a = 120 см

Так как CF является медианой, то мы знаем, что: \[ BF = AF \] \[ BF + FA = AB \] Если FA = 80 см, то: \[ AB = BF + 80 см \]

Также, поскольку CF является медианой, используя формулу для длины медианы в треугольнике:

\[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \]

где:

• \(m_c\) — длина медианы CF,
• \(a\) и \(b\) — длины сторон CB и AC,
• \(c\) — сторона AB.

Так как мы не знаем длину CF, давайте сначала найдём её. Поскольку CF - медиана, мы можем использовать координатный подход или подход с помощью треугольников.

Однако, сделаем проще: Обозначим сторону AB как \(c\) и воспользуемся указанием высоты через точки C и F.

Существует свойство медианы, которое говорит, что квадраты сторон треугольника можно выразить через медиану:

\[ CF^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4} \]

Зная длины: \( a = 120 \) см и \( b = 120 \) см, можно подставить в формулу: \[ CF^2 = \frac{2 \cdot 120^2 + 2 \cdot 120^2 - c^2}{4} \]

При этом, длина медианы CF можно найти через известные элементы: Если треугольник ВАС равнобедренный (CB = AC), то медиана CF также будет являться высотой, что можно легко выяснить, если сделать чертеж.

Теперь, найдём периметр треугольника ВАС: Периметр (P) треугольника равен: \[ P = AB + AC + CB = c + 120 + 120 \]

Таким образом, периметр будет зависеть от значения стороны AB. Давайте теперь найдем сторону AB исходя из длины FA и конструктивных свойств: Так как F - середина, и FA = 80 см, это означает, что BF также будет 80 см (разделение медианой). Таким образом, \( AB = 80 + 80 = 160 \) см.

Теперь подставим все известные значения в формулу для периметра: \[ P = 160 + 120 + 120 = 400 см \]

Итак, ответ:

• Сторона ВА = 160 см.
• Периметр треугольника ВАС = 400 см.