Построй график функции 𝑦 = − 𝑥 2 + 7 ∣ 𝑥 ∣ − 2 y=−x 2 +7∣x∣−2 и определи, какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси…
Построй график функции 𝑦 = − 𝑥 2 + 7 ∣ 𝑥 ∣ − 2 y=−x 2 +7∣x∣−2 и определи, какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс.
Для построения графика функции \( y = -x^2 + 7|x| - 2 \) давайте сначала разберем ее составные части и выявим, как она будет выглядеть в зависимости от значения \( x \).
Функция \( |x| \) означает, что для положительных значений \( x \) она равна \( x \), а для отрицательных \( x \) — равна \( -x \).
Разделим функцию на два случая:
- Если \( x \geq 0 \): \[ y = -x^2 + 7x - 2 \]
- Если \( x < 0 \): \[ y = -x^2 - 7x - 2 \]
Проанализируем каждую из функций:
Для \( x \geq 0 \): \( y = -x^2 + 7x - 2 \) является параболой, открывающейся вниз. Чтобы найти вершину этой параболы, используем формулу координаты вершины \( x_v = -\frac{b}{2a} \): \[ x_v = -\frac{7}{2 \cdot (-1)} = \frac{7}{2} \] Подставляем \( x_v = \frac{7}{2} \) в уравнение: \[ y_v = -\left(\frac{7}{2}\right)^2 + 7\left(\frac{7}{2}\right) - 2 = -\frac{49}{4} + \frac{49}{2} - 2 \] Приведем к общему знаменателю: \[ y_v = -\frac{49}{4} + \frac{98}{4} - \frac{8}{4} = \frac{41}{4} \]
Для \( x < 0 \): \( y = -x^2 - 7x - 2 \) также является параболой, открывающейся вниз. Найдем вершину: \[ x_v = -\frac{-7}{2 \cdot (-1)} = \frac{7}{2} \] Для отрицательных \( x \) вершина находится на оси \( x \), но необходимо взять только отрицательные значения. Это можно проанализировать, однако будет достаточно знать, что, при \( x < 0 \), парабола также будет иметь максимум, и ее вершина будет ближе к отрицательной стороне.
Общие точки с прямой, параллельной оси абсцисс: Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение вида \( y = k \). Чтобы определить, сколько может быть решений (общих точек), нужно выяснить, сколько раз график функции пересечет горизонтальную линию \( y = k \).
Поскольку обе ветви функции — это параболы, каждая из которых открывается вниз, у каждой части функции (как для \( x \geq 0 \), так и для \( x < 0 \)) может быть максимум, и они могут пересекаться с линией \( y = k \) в двух точках или вообще не пересекаться в зависимости от значения \( k \).
Таким образом, наибольшее количество общих точек графика данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс, составляет 4 точки. Это зависит от выбора значения \( k \), чтобы прямая пересекала обе ветви параболы.
