в прямоугольном треугольнике а и б - катеты, с - гипотенуза. Найдите б, если: а=3б ; с=2√10. распиши подробно!
В прямоугольном треугольнике у нас известны катеты \( a \) и \( b \), а также гипотенуза \( c \). У нас есть следующая информация:
- \( a = 3b \)
- \( c = 2\sqrt{10} \)
Мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Теперь подставим значение \( a \) из первого уравнения в теорему Пифагора:
\[ (3b)^2 + b^2 = (2\sqrt{10})^2 \]
Теперь вычислим каждую часть:
\[ 9b^2 + b^2 = 4 \cdot 10 \]
Объединим похожие члены:
\[ 10b^2 = 40 \]
Теперь разделим обе стороны на 10:
\[ b^2 = 4 \]
Чтобы найти \( b \), возьмем квадратный корень:
\[ b = \sqrt{4} = 2 \]
Теперь, когда мы нашли \( b \), можем определить \( a \):
\[ a = 3b = 3 \cdot 2 = 6 \]
Таким образом, мы нашли значения катетов:
- \( b = 2 \)
- \( a = 6 \)
Теперь, давайте проверим:
- Убедимся, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: \[ a^2 + b^2 = 6^2 + 2^2 = 36 + 4 = 40 \] \[ c^2 = (2\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40 \]
Поскольку обе стороны равны, всё в порядке.
Ответ: катет \( b = 2 \).
