Определи температуру разрежённого газа (32 г/ моль) в закрытом сосуде, учитывая, что средняя квадратичная скорость его молекул отличается от их наиболее вероятной скорости на 112 м/с. (В кельвинов, ответ округли до целых.)
Для определения температуры разрежённого газа в закрытом сосуде, воспользуемся связью между средней квадратичной скоростью молекул газа, наиболее вероятной скоростью и температурой.
Сначала обозначим данные:
- Молярная масса газа (M) = 32 г/моль = 0,032 кг/моль.
- Разница между средней квадратичной скоростью (v_rms) и наиболее вероятной скоростью (v_mp) = 112 м/с.
Средняя квадратичная скорость молекул газа рассчитывается по формуле:
\[ v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \]
где:
- R – универсальная газовая постоянная (R = 8.314 Дж/(моль·К)),
- T – температура в Кельвинах.
Наиболее вероятная скорость молекул газа определяется по формуле:
\[ v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}} \]
Следовательно, разница между средней квадратичной скоростью и наиболее вероятной скоростью может быть представлена следующим уравнением:
\[ v_{rms} - v_{mp} = 112 \]
Теперь подставим выражения для средней квадратичной и наиболее вероятной скорости в уравнение:
\[ \sqrt{\frac{3RT}{M}} - \sqrt{\frac{2RT}{M}} = 112 \]
Обозначим \( \sqrt{\frac{RT}{M}} = x \). Тогда у нас получится:
\[ \sqrt{3} x - \sqrt{2} x = 112 \]
Факторизуем:
\[ (\sqrt{3} - \sqrt{2}) x = 112 \]
Теперь найдем \( x \):
\[ x = \frac{112}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \]
Для упрощения сделаем приближенную оценку значений:
\( \sqrt{3} \approx 1.732 \)
\( \sqrt{2} \approx 1.414 \)
Таким образом, \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \approx 1.732 - 1.414 = 0.318 \).
Теперь подставим это значение:
\[ x \approx \frac{112}{0.318} \approx 351.57 \]
Теперь вернемся к выражению \( x = \sqrt{\frac{RT}{M}} \):
\[ 351.57 = \sqrt{\frac{RT}{M}} \]
Квадратируем обе стороны, чтобы решить для \( T \):
\[ 351.57^2 = \frac{RT}{M} \]
Сначала найдем \( 351.57^2 \):
\[ 351.57^2 \approx 123605.1849 \]
Теперь подставим значения:
\[ 123605.1849 = \frac{8.314 \cdot T}{0.032} \]
Умножим обе стороны на 0.032:
\[ 123605.1849 \cdot 0.032 = 8.314T \]
\[ 3953.636 = 8.314T \]
Теперь найдем \( T \):
\[ T = \frac{3953.636}{8.314} \approx 476.4 \text{ К} \]
Округляя до целых, получаем:
Температура разрежённого газа примерно равна 476 K.
