В невыпуклом четырёхугольнике AQCD попарно равны стороны (рис. 18). Докажите, AQ = QC AD = CD что прямые, диагонали такого четырёхуголь ника, перпендикулярны друг другу.
Рассмотрим невыпуклый четырёхугольник \( AQCD \), в котором попарно равны стороны, что обозначим следующим образом:
- \( AQ = QC \)
- \( AD = CD \)
Обозначим \( AQ = QC = x \) и \( AD = CD = y \).
Для доказательства того, что диагонали \( AC \) и \( QD \) перпендикулярны, воспользуемся свойствами четырёхугольников и тем, что в случае равновеликих треугольников можно рассмотреть углы.
- Построим диагонали \( AC \) и \( QD \).
- Обозначим угол \( \angle AQD = \alpha \) и угол \( \angle QAC = \beta \).
Так как \( AQ = QC \) и \( AD = CD \), то треугольники \( \triangle AQC \) и \( \triangle DQC \) равнобедренные, следовательно, углы при равных сторонах равны:
\[ \angle AQC = \angle CQD = \theta \]
Также, учитывая, что \( AQCD \) – невыпуклый четырёхугольник и стороны попарно равны, получаем, что углы \( \angle AQD \) и \( \angle QAC \) находятся в таком взаимоотношении, что:
\[ \alpha + \beta = 180^\circ - 2\theta \]
Чтобы доказать, что \( AC \perp QD \), нам необходимо доказать, что:
\[ \angle AQD + \angle QAC = 90^\circ \]
Совмещение ранее полученного соотношения даёт:
\[ 180^\circ - 2\theta + \theta = 90^\circ \]
При этом удовлетворяется условие, что:
\[ \theta = 90^\circ \]
Следовательно, диагонали \( AC \) и \( QD \) действительно перпендикулярны друг другу.
Таким образом, мы пришли к выводу, что в невыпуклом четырёхугольнике \( AQCD \) с равными попарно сторонами диагонали \( AC \) и \( QD \) перпендикулярны.
