Разложите на множители многочлен: 30 a 3 + 9 a 4 − 24 a − 80

Чтобы разложить многочлен \(30a^3 + 9a^4 - 24a - 80\) на множители, начнем с поиска общего множителя.

1. Просмотрим коэффициенты: 30, 9, -24 и -80. Наибольший общий делитель этих коэффициентов равен 3.
2. Теперь выделим общий множитель 3 из всего многочлена:

\[ 3(10a^3 + 3a^4 - 8a - \frac{80}{3}) \]

Однако, замечаем, что при разбиении на множители в таком виде удобно выделять факторы, содействующие разбиению.

3. Попробуем сгруппировать члены:

\[ 3a^4 + 10a^3 - 8a - 80 \]

4. Самое удобное — сгруппировать:

\[ (3a^4 + 10a^3) + (-8a - 80) \]

5. Из первой группы можно вынести \(a^3\), из второй — -8:

\[ a^3(3a + 10) - 8(1 + 10) \]

6. Но, на самом деле, мы можем реорганизовать так:

\[ (3a^4 + 10a^3) - (8a + 80) \]

7. Теперь выделим все множители в каждой группе:

\[ a^3(3a + 10) - 8(3a + 10) \]

8. Мы видим общий множитель:

\[ (3a + 10)(a^3 - 8) \]

9. Заметим, что \(a^3 - 8\) — это разность кубов:

\[ a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4) \]

10. Подводим итог:

\[ 30a^3 + 9a^4 - 24a - 80 = 3(3a + 10)(a - 2)(a^2 + 2a + 4) \]

Таким образом, полный разложенный вид данного многочлена будет следующем:

\[ 30a^3 + 9a^4 - 24a - 80 = 3(3a + 10)(a - 2)(a^2 + 2a + 4) \]