Найдите область допустимых значений переменной в выражении 2x+x^2/|2x| + 3

Для поиска области допустимых значений переменной \( x \) в выражении

\[ y = \frac{2x + x^2}{|2x|} + 3, \]

нужно учесть, что выражение включает в себя деление на модуль. Рассмотрим следующую ситуацию:

1. Определение модуля: Модуль \( |2x| \) равен \( 2x \) при \( x \geq 0 \) и \( -2x \) при \( x < 0 \). Однако если \( x = 0 \), то \( |2x| = 0 \), что приводит к делению на ноль и делает выражение неопределённым.

2. Условия для деления: Для того чтобы выражение было определено, необходимо, чтобы \( |2x| \neq 0 \). Это означает, что \( x \) не может быть равен 0.

3. Проверка положительности: Необходимо также проверить, что в знаменателе \( |2x| \) не отрицательное число. Однако для определения области значений это не критично, поскольку мы уже исключили \( x = 0 \).

В итоге, область допустимых значений \( x \) будет:

\[ x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty). \]

Таким образом, область допустимых значений переменной \( x \) для данного выражения — это все действительные числа, кроме нуля.