Правильный вариант ответа: "while I was falling down the stairs."
Фраза "while I was falling down" указывает на процесс, происходивший в течение некоторого времени, тогда как "fell down" подразумевает завершенное действие. В данном контексте правильным будет использовать форму "was falling", так как это подчеркивает, что падение происходило в процессе, когда что-то еще происходило одновременно.