Ольга хочет установить пароль на свой телефон. В пароле должно быть 4 символов. Годятся любые цифры от 0 до 9, а также символы звездочки «*» и решетки «#». Сколько разных паролей…

Чтобы решить задачу, давайте сначала определим количество символов, которые могут использоваться в пароле.

1. Общее количество символов:
   • Цифры от 0 до 9: всего 10 символов.
   • Знак «*»: 1 символ.
   • Знак «#»: 1 символ.

Таким образом, у нас есть 10 (цифры) + 1 (звездочка) + 1 (решетка) = 12 доступных символов.

2. Количество разных паролей (без ограничений): Для пароля длиной 4 символа, если каждый символ может быть использован несколько раз, мы можем использовать формулу: \[ N = n^k \] где \( n \) — количество доступных символов, а \( k \) — длина пароля. В нашем случае: \[ N = 12^4 = 20736 \] Таким образом, мы можем составить 20736 различных паролей.

3. Количество разных паролей (с ограничением на уникальность символов): Если каждый символ можно использовать только один раз, то мы должны выбрать 4 различных символа из 12 и упорядочить их. Это можно сделать следующим образом:

   • Сначала выбираем 4 символа из 12: это можно сделать \( C(12, 4) \) (комбинации).
   • Затем упорядочиваем эти 4 символа: это \( 4! \) (перестановки).

Количество комбинаций можно вычислить по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \( n = 12 \), \( k = 4 \): \[ C(12, 4) = \frac{12!}{4! \cdot (12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495 \]

Теперь находим количество перестановок для 4 выбранных символов: \[ 4! = 24 \]

Теперь умножаем количество комбинаций на количество перестановок: \[ N_{уникальные} = C(12, 4) \cdot 4! = 495 \cdot 24 = 11880 \]

Таким образом, если каждый символ можно использовать только один раз, остается 11880 различных вариантов пароля.

В итоге, Ольга может создать:

• 20736 паролей без ограничений,
• 11880 паролей с уникальными символами.