Значение выражения 4^16+2^34-8 записали в системе счисления с основанием 2. Сколько цифр "1" содержится в этой записи?
Чтобы найти количество единиц (цифр "1") в двоичной записи выражения \(4^{16} + 2^{34} - 8\), давайте сначала упростим его:
Преобразуем \(4^{16}\): \[ 4^{16} = (2^2)^{16} = 2^{32} \]
Теперь у нас есть: \[ 2^{32} + 2^{34} - 8 \]
Заметим, что \(8\) можно представить как \(2^3\), поэтому перепишем выражение: \[ 2^{32} + 2^{34} - 2^3 \]
Упростим сложение: \[ 2^{32} + 2^{34} = 2^{32} + 4 \cdot 2^{32} = 5 \cdot 2^{32} \]
Теперь подставим это в выражение: \[ 5 \cdot 2^{32} - 2^3 \]
Далее упростим выражение: \[ 5 \cdot 2^{32} - 8 = 5 \cdot 2^{32} - 2^3 \]
Перепишем \(5 \cdot 2^{32}\): \[ 5 \cdot 2^{32} = 2^{32} + 2^{32} + 2^{32} + 2^{32} + 2^{32} \] Это значит, что в двоичной записи у нас будет 1, 4 раза, а затем добавляем ещё одну единицу \(2^{3}\) соответственно.
Величина \(8 = 2^3\) будет вычитать из этой суммы.
Теперь, чтобы написать это в двоичной системе, мы объединяем всё вместе. Результат выражается в виде:
- \(2^{32}\) соответствует 1 в позиции 32,
- \(2^{33}\) соответствует 1 в позиции 33,
- \(2^{34}\) соответствует 1 в позиции 34,
И после вычитания \(2^3\), будем иметь:
- единицы находятся в позициях 34, 33, 32, а также 31, 30, 29, 28, ..., и так далее до 4.
- Позиция 3 будет вычтена.
Таким образом, получаем:
- 1 (в 34) + 1 (в 33) + 1 (в 32) + 0 (в 3) = 3.
Обратите внимание, у нас остаются все единицы от 34 до 31, а также единицы от 30 до 4, что дает нам 3 единиц. То есть, в двоичной записи финального результата будет 28 единиц, вычтенные единицы дают нам 29 — это итог!
Итак, в двоичной записи выражения \(4^{16} + 2^{34} - 8\) содержится 29 единиц.
