Периметр ромба равен 20 см, произведение диагоналей равно 48 см². Найдите высоту ромба.
Для решения задачи о ромбе, где известен периметр и произведение диагоналей, давайте сначала вспомним несколько свойств ромба.
Периметр ромба можно выразить через сторону: \[ P = 4a, \] где \( a \) — длина стороны ромба. В данном случае периметр равен 20 см, следовательно: \[ 4a = 20 \] \[ a = 5 \text{ см}. \]
Произведение диагоналей ромба связано с его площадью. Площадь ромба также можно выразить через сторону и высоту: \[ S = a \cdot h, \] где \( h \) — высота ромба.
С другой стороны, площадь ромба через диагонали (обозначим диагонали как \( d_1 \) и \( d_2 \)) вычисляется по формуле: \[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}. \] По условию задачи, произведение диагоналей равно 48 см², что значит: \[ d_1 \cdot d_2 = 48 \text{ см}^2. \]
Теперь мы можем выразить площадь через диагонали: \[ S = \frac{48}{2} = 24 \text{ см}^2. \]
- Равняем два выражения для площади: \[ a \cdot h = 24. \] Подставим значение \( a \): \[ 5 \cdot h = 24. \] Теперь решим это уравнение для \( h \): \[ h = \frac{24}{5} = 4.8 \text{ см}. \]
Таким образом, высота ромба составляет 4.8 см.
