Решим систему линейных уравнений: ( 2x - 4y + 3z = 1 ) ( 3x - y + 5z = 2 ) ( x - 2y + 4z = 3 )
Чтобы решить систему линейных уравнений, у нас есть три уравнения:
- \( 2x - 4y + 3z = 1 \)
- \( 3x - y + 5z = 2 \)
- \( x - 2y + 4z = 3 \)
Мы можем использовать метод подстановки или метод Гаусса. Здесь мы рассмотрим метод Гаусса.
Сначала запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы:
\[ \begin{pmatrix} 2 & -4 & 3 & | & 1 \\ 3 & -1 & 5 & | & 2 \\ 1 & -2 & 4 & | & 3 \end{pmatrix} \]
Далее мы будем приводить матрицу к верхнему треугольному виду.
- Умножим первое уравнение на \( \frac{1}{2} \) для простоты:
\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & \frac{3}{2} & | & \frac{1}{2} \\ 3 & -1 & 5 & | & 2 \\ 1 & -2 & 4 & | & 3 \end{pmatrix} \]
- Теперь вычтем 3 раза первое уравнение из второго и первое уравнение из третьего:
\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & \frac{3}{2} & | & \frac{1}{2} \\ 0 & 5 & -\frac{1}{2} & | & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & \frac{5}{2} & | & \frac{5}{2} \end{pmatrix} \]
- Теперь упрощаем третье уравнение, деля его на \( \frac{5}{2} \):
\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & \frac{3}{2} & | & \frac{1}{2} \\ 0 & 5 & -\frac{1}{2} & | & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{pmatrix} \]
- Теперь мы можем выразить \( z = 1 \). Подставим это значение во второе уравнение:
\[ 5y - \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \Rightarrow 5y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow 5y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{5} \]
- Теперь подставим \( y \) и \( z \) в первое уравнение, чтобы найти \( x \):
\[ x - 2 \cdot \frac{1}{5} + \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \] \[ x - \frac{2}{5} + \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \]
Чтобы перейти к общему знаменателю, представим \( \frac{3}{2} \) в виде десятичных дробей:
\[ x - \frac{2}{5} + 1.5 = 0.5 \] \[ x - 0.4 + 1.5 = 0.5 \] \[ x + 1.1 = 0.5 \Rightarrow x = 0.5 - 1.1 = -0.6 \]
Итак, мы нашли решения для системы уравнений:
\[ x = -0.6,\quad y = \frac{1}{5},\quad z = 1 \]
Таким образом, ответ на нашу систему:
\[ (x, y, z) = (-0.6, \frac{1}{5}, 1) \]
Если у вас возникли вопросы по этому решению, не стесняйтесь их задавать!
