1. Объясните, какая фигура называется треугольником. Начер- тите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы. Что такое периметр треугольника? 2 Какие треугольники называются равными? 3 Что такое теорема и доказательство теоремы? 4 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников. 5 Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, про- ведённым из данной точки к данной прямой. 6 Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, про- ведённом из данной точки к данной прямой. 7 Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник? 8 Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколь- ко биссектрис имеет треугольник? 9 Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник? 10 Какой треугольник называется равнобедренным? Как назы- ваются его стороны? 11 Какой треугольник называется равносторонним? 12 Докажите, что углы при основании равнобедренного треуголь- ника равны. 13 Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобед- ренного треугольника. 14 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак равенства треугольников. 15 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак равенства треугольников.

1. **Треугольник** – это геометрическая фигура, состоящая из трёх сторон и трёх углов. Каждая сторона – это отрезок, соединяющий две точки, которые называются **вершинами** треугольника. Углы образуются между сторонами. Чтобы начертить треугольник, сначала нарисуйте три отрезка, которые соединяются в трех точках. Обозначим их как \(A\), \(B\), и \(C\). Тогда треугольник можно обозначить как \(\triangle ABC\). **Периметр треугольника** – это сумма длин всех его сторон: \(P = AB + BC + CA\). 2. **Равные треугольники** – это треугольники, у которых совпадают все соответствующие элементы: стороны и углы. То есть, если треугольник \(\triangle ABC\) равен треугольнику \(\triangle A'B'C'\), то \(AB = A'B'\), \(BC = B'C'\), \(CA = C'A'\), а также \(\angle A = \angle A'\), \(\angle B = \angle B'\), \(\angle C = \angle C'\). 3. **Теорема** – это утверждение, которое подтверждено доказательством. **Доказательство теоремы** – это логичное рассуждение, показывающее, как из известных фактов и предыдущих теорем выводится истинность данной теоремы. 4. **Первый признак равенства треугольников** утверждает, что если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны. **Доказательство:** Пусть \(\triangle ABC\) и \(\triangle A'B'C'\) такие, что \(AB = A'B'\), \(AC = A'C'\), и \(\angle A = \angle A'\). Построим треугольник \(\triangle A'B'C'\) и проведем из точки \(A'\) касательную к окружности, описанной около \(\triangle ABC\). По определению равенства мы получаем, что треугольники равны. 5. **Перпендикуляр**, проведенный из данной точки \(P\) к данной прямой \(l\), – это отрезок \(PM\), где \(M\) – точка на прямой, и угол \(\angle PMO = 90^\circ\) (прямой угол). 6. **Теорема о перпендикуляре** гласит, что из данной точки, не лежащей на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой. **Доказательство:** Пусть \(P\) – данная точка, и пусть \(M\) и \(N\) – две разные точки на прямой \(l\), такие что \(PM \perp l\) и \(PN \perp l\). Тогда угол \(PMO\) = углу \(PNO\) = \(90^\circ\). Это может произойти, только если \(M = N\). Следовательно, из точки \(P\) можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой \(l\). 7. **Медиана** треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. У треугольника всегда три медианы. 8. **Биссектрисой** треугольника называется отрезок, который делит один из углов треугольника пополам и соединяет вершину с противоположной стороной. У треугольника также три биссектрисы. 9. **Высота** треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или её продолжение). У треугольника тоже три высоты. 10. **Равнобедренный треугольник** – это треугольник, у которого две стороны равны по длине. Стороны называются равными, а третья сторона – основанием. 11. **Равносторонний треугольник** – это треугольник, у которого все три стороны равны. 12. Чтобы доказать, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, используем равенство сторон. Пусть \(\triangle ABC\) равнобедренный, где \(AB = AC\). Углы \(\angle ABC\) и \(\angle ACB\) будут равны благодаря свойству равнобедренного треугольника и признаку равенства треугольников. 13. **Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника**: Биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны. **Доказательство:** Пусть \(AB = AC\) и \(D\) – точка на \(BC\), где \(AD\) – биссектрисa. Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(ACD\). Поскольку \(AB = AC\) и \(\angle ABD = \angle ACD\) (по конструкции), треугольники равны, следовательно, \(BD = CD\). 14. **Второй признак равенства треугольников** утверждает, что если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника, а углы между ними равны, то треугольники равны. **Доказательство:** Пусть \(AB = A'B'\), \(AC = A'C'\) и \(\angle A = \angle A'\). Построим треугольник и проведем тождественные линии. Установление равенства приведет к равенству треугольников. 15. **Третий признак равенства треугольников**: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого, то треугольники равны. **Доказательство:** Пусть \(AB = A'B'\), \(BC = B'C'\) и \(CA = C'A'\). Построим окружности, и используя равенство всех сторон, можно заключить, что треугольники равны. Если у вас есть еще вопросы – всегда рад помочь!