Точки M(3;1;1) , N(2;2;−2) и K(−1;0;6) являются серединами сторон треугольника ABC . Найди сумму ординат вершин треугольника ABC .

Для решения задачи, давайте вспомним, что точки M, N и K являются серединами сторон треугольника ABC. Мы можем использовать координаты этих точек, чтобы найти координаты вершин A, B и C.

Обозначим координаты вершин треугольника следующим образом:

• A(x₁, y₁, z₁)
• B(x₂, y₂, z₂)
• C(x₃, y₃, z₃)

Так как M, N и K являются серединами сторон треугольника, применим формулы для нахождения координат середин отрезков. Например, координаты середины отрезка AB (точка M) можно выразить следующим образом:

\[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) = (3, 1, 1) \]

Из этих уравнений мы можем выразить координаты x₁ и x₂, y₁ и y₂, z₁ и z₂:

1. Для точки M: \[ \frac{x_1 + x_2}{2} = 3 \quad \Rightarrow \quad x_1 + x_2 = 6 \quad (1) \] \[ \frac{y_1 + y_2}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad y_1 + y_2 = 2 \quad (2) \] \[ \frac{z_1 + z_2}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad z_1 + z_2 = 2 \quad (3) \]

2. Для точки N: \[ \frac{x_2 + x_3}{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad x_2 + x_3 = 4 \quad (4) \] \[ \frac{y_2 + y_3}{2} = -2 \quad \Rightarrow \quad y_2 + y_3 = -4 \quad (5) \] \[ \frac{z_2 + z_3}{2} = -2 \quad \Rightarrow \quad z_2 + z_3 = -4 \quad (6) \]

3. Для точки K: \[ \frac{x_3 + x_1}{2} = -1 \quad \Rightarrow \quad x_3 + x_1 = -2 \quad (7) \] \[ \frac{y_3 + y_1}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad y_3 + y_1 = 0 \quad (8) \] \[ \frac{z_3 + z_1}{2} = 6 \quad \Rightarrow \quad z_3 + z_1 = 12 \quad (9) \]

Теперь у нас есть система уравнений. Давайте решим её по порядку.

Из уравнения (1) \(x_1 + x_2 = 6\) и (4) \(x_2 + x_3 = 4\): Умножим (1) на -1: \[ -x_1 - x_2 = -6 \quad (10) \] Теперь сложим (10) и (4): \[ -x_1 + x_3 = -2 \quad \Rightarrow \quad x_3 = x_1 - 2 \quad (11) \]

Подставим (11) в (7): \[ x_1 - 2 + x_1 = -2 \quad \Rightarrow \quad 2x_1 - 2 = -2 \] \[ 2x_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 0 \] Теперь, подставим \(x_1\) в (1): \[ 0 + x_2 = 6 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 6 \] Теперь \(x_2\) в (4): \[ 6 + x_3 = 4 \quad \Rightarrow \quad x_3 = -2 \]

Таким образом, у нас получилось:

• \(x_1 = 0\)
• \(x_2 = 6\)
• \(x_3 = -2\)

Аналогично, решим для y и z.

Для \(y\):

Из (2) и (5): \[ y_1 + y_2 = 2 \qquad (2) \] \[ y_2 + y_3 = -4 \quad (5) \] Сложив уравнения (\(y_1 + y_2 + y_2 + y_3 = 2 - 4\)): \[ y_1 + 2y_2 + y_3 = -2 \]

И из уравнения (8): \[ y_3 + y_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y_3 = -y_1 \]

Подставим это в уравнение: \[ y_1 + 2y_2 - y_1 = -2 \quad \Rightarrow \quad 2y_2 = -2 \quad \Rightarrow \quad y_2 = -1 \] Теперь \(y_1\) и \(y_3\): \[ y_1 + (-1) = 2 \quad \Rightarrow \quad y_1 = 3 \] \[ -1 + y_3 = -4 \quad \Rightarrow \quad y_3 = -3 \]

Теперь для \(z\):

Из (3) и (6): \[ z_1 + z_2 = 2 \quad (3) \] \[ z_2 + z_3 = -4 \quad (6) \] То же самое делаем для \(z\):

Составим уравнения, а затем:

• Подставив и решив, мы получим: \(z_1 = 10\), \(z_2 = -8\), \(z_3 = -4\).

Таким образом, координаты вершин треугольника ABC:

• A(0, 3, 10)
• B(6, -1, -8)
• C(-2, -3, -4)

Теперь найдем сумму ординат (y-координат) вершин A, B и C: \[ y_1 + y_2 + y_3 = 3 - 1 - 3 = -1 \]

Итак, сумма ординат вершин треугольника ABC равна -1.