Колода из 36 игральных карт хорошо перетасована. Карты открывают по одной. Какова вероятность, что первый туз появится ровно шестой картой по счёту?
Чтобы найти вероятность того, что первый туз появится именно шестой картой, нужно рассмотреть следующие моменты:
Условия задачи: У нас есть колода из 36 карт, в которой 4 туза. Мы хотим, чтобы первый туз выпал ровно на шестой карте.
Событие: Для того чтобы первый туз оказался шестой картой, на первых пяти картах не должно быть тузов, а на шестой карте должен быть туз.
Вероятности:
- На первых пяти картах каждая карта должна быть обычной (не тузом). В колоде 36 карт, из которых 32 — не тузы.
- Вероятность вытянуть не тузы за первые пять карт:
- Первая карта: вероятность не туза = 32/36
- Вторая карта: вероятность не туза = 31/35
- Третья карта: вероятность не туза = 30/34
- Четвертая карта: вероятность не туза = 29/33
- Пятая карта: вероятность не туза = 28/32
Мы можем найти произведение этих вероятностей: \[ P(\text{первые 5 карт без тузов}) = \frac{32}{36} \cdot \frac{31}{35} \cdot \frac{30}{34} \cdot \frac{29}{33} \cdot \frac{28}{32} \]
Это равно: \[ = \frac{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28}{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32} \]
Шестая карта: На шестой карте должен выпасть туз. После того, как мы вытянули 5 карт, в колоде осталось 31 карта (и 4 туза). Вероятность, что на шестой карте будет туз: \[ P(\text{туз на 6-й карте}) = \frac{4}{31} \]
Общая вероятность: Теперь мы можем умножить вероятность того, что первые пять карт не тузы, на вероятность того, что на шестой картой будет туз. \[ P(\text{первый туз на 6-й}) = P(\text{первые 5 карт без тузов}) \cdot P(\text{туз на 6-й}) \] \[ = \left( \frac{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28}{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32} \right) \cdot \frac{4}{31} \]
После сокращений получим: \[ = \frac{31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 4}{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33} \]
Затем вы можете подставить числовые значения или упростить дробь, чтобы получить окончательный результат. Так вы сможете вычислить вероятность того, что первый туз появится ровно в шестой раз.
