y=4 корень x-x,(0;5]
Для данного выражения \( y = 4\sqrt{x} - x \) определим область определения и поведение функции на интервале \( (0; 5] \).
Шаг 1: Определение области определения
Функция \( \sqrt{x} \) определена для \( x \geq 0 \). С учетом данного интервала \( (0; 5] \) область определения функции будет: \[ x \in (0; 5]. \]
Шаг 2: Нахождение производной и критических точек
Чтобы понять, как ведет себя функция, найдем ее производную:
\[ y' = \frac{d}{dx}(4\sqrt{x}) - \frac{d}{dx}(x) = \frac{4}{2\sqrt{x}} - 1 = \frac{2}{\sqrt{x}} - 1. \]
Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
\[ \frac{2}{\sqrt{x}} - 1 = 0 \implies \frac{2}{\sqrt{x}} = 1 \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4. \]
Шаг 3: Анализ функции
Теперь проанализируем производную на интервале \( (0; 5] \):
- При \( x < 4 \): \( y' > 0 \) (функция возрастает).
- При \( x = 4 \): \( y' = 0 \) (функция имеет максимум).
- При \( x > 4 \): \( y' < 0 \) (функция убывает).
Шаг 4: Значения функции на границах интервала и в критической точке
Теперь найдем значения функции на границах интервала и в критической точке:
- \( y(0^+) \) не определено, но стремится к 0.
- \( y(4) = 4\sqrt{4} - 4 = 8 - 4 = 4. \)
- \( y(5) = 4\sqrt{5} - 5 \approx 4 \times 2.236 - 5 \approx 8.944 - 5 = 3.944. \)
Шаг 5: Поведение функции
- Минимальное значение на интервале: приближается к 0 при \( x \to 0 \).
- Максимальное значение: \( y = 4 \) при \( x = 4 \).
- Значение при \( x = 5 \): приблизительно \( 3.944 \).
Итог
Функция y = 4√x - x на интервале (0; 5] имеет максимум в точке x = 4, равный 4, и стремится к 0 при x, стремящемся к 0.
