Смешанное произведение векторов a⃗ ={7;−1;6} , b⃗ ={3;−1;0} и c⃗ ={1;0;0} равно...

Смешанное произведение трех векторов \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \) вычисляется с помощью формулы:

\[ \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}), \]

где \( \cdot \) — это скалярное произведение, а \( \times \) — векторное произведение.

Давайте найдем векторное произведение \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \):

\[ \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \]

Векторное произведение \( \vec{b} \times \vec{c} \) можно найти по формуле:

\[ \vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} b_2 c_3 - b_3 c_2 \\ b_3 c_1 - b_1 c_3 \\ b_1 c_2 - b_2 c_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot 0 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 - 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 - (-1) \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \]

Теперь у нас есть векторное произведение \( \vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \). Теперь вычислим скалярное произведение \( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) \):

\[ \vec{a} = \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix}. \]

Скалярное произведение:

\[ \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 7 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 6 \cdot 1 = 0 + 0 + 6 = 6. \]

Таким образом, смешанное произведение векторов \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \) равно 6.