Решите систему уравнений { 1/х – 1/у = 1/6, { 5х – у = 9.
Для решения системы уравнений:
\[ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}, \\ 5x - y = 9. \end{cases} \]
начнем с первого уравнения. Умножим его на \(xy\) для устранения дробей:
\[ y - x = \frac{xy}{6}. \]
Теперь выразим \(y\) через \(x\):
\[ y - x = \frac{xy}{6} \implies y = x + \frac{xy}{6} \implies y \left(1 - \frac{x}{6}\right) = x \implies y = \frac{6x}{6 - x}. \]
Теперь подставим \(y\) во второе уравнение:
\[ 5x - \frac{6x}{6 - x} = 9. \]
Умножим все на \(6 - x\) для удаления дробей:
\[ 5x(6 - x) - 6x = 9(6 - x). \]
Раскроем скобки:
\[ 30x - 5x^2 - 6x = 54 - 9x. \]
Соберем все в одно уравнение:
\[ -5x^2 + 30x - 6x + 9x - 54 = 0 \implies -5x^2 + 33x - 54 = 0. \]
Умножим на -1 для удобства:
\[ 5x^2 - 33x + 54 = 0. \]
Теперь применим формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-33)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 54 = 1089 - 1080 = 9. \]
Корни уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{33 \pm 3}{10}. \]
Решения:
- \(x_1 = \frac{36}{10} = 3.6\),
- \(x_2 = \frac{30}{10} = 3\).
Теперь подставим значения \(x\) обратно, чтобы найти соответствующие \(y\):
- Для \(x_1 = 3.6\):
\[ y = \frac{6 \cdot 3.6}{6 - 3.6} = \frac{21.6}{2.4} = 9. \]
- Для \(x_2 = 3\):
\[ y = \frac{6 \cdot 3}{6 - 3} = \frac{18}{3} = 6. \]
В итоге, у нас есть два решения:
- \( (x, y) = (3.6, 9) \)
- \( (x, y) = (3, 6) \)
Если у вас есть еще вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
