Площадь полной поверхности конуса равна 12 cм2. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь (в cм2) полной поверхности отсеченного…

Чтобы решить задачу, начнем с определения площади полной поверхности конуса. Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле:

\[ S = S_{основания} + S_{боковая} = \pi R^2 + \pi R l \]

где \( R \) — радиус основания конуса, \( l \) — образующая конуса (длина стороны).

Дано, что полная площадь поверхности конуса равна 12 см²:

\[ \pi R^2 + \pi R l = 12 \]

Теперь проведем сечение конуса параллельно основанию, деля его высоту пополам. Это означает, что мы получим меньший конус, подобный исходному.

При сечении высота нового конуса будет равна половине высоты исходного конуса, а радиус основания нового конуса также будет в два раза меньше, поскольку конусы подобны. Таким образом, радиус нового конуса будет равен:

\[ R_{новый} = \frac{R}{2} \]

Теперь найдем образующую \( l_{новый} \) нового конуса. Образующая также уменьшится пропорционально и будет:

\[ l_{новый} = \frac{l}{2} \]

Теперь вычислим площадь полной поверхности отсеченного конуса (меньшего конуса). Она будет равна:

\[ S_{новый} = \pi R_{новый}^2 + \pi R_{новый} l_{новый} \]

Подставим выражения для \( R_{новый} \) и \( l_{новый} \):

\[ S_{новый} = \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 + \pi \left(\frac{R}{2}\right) \left(\frac{l}{2}\right) \]

\[ S_{новый} = \pi \left(\frac{R^2}{4}\right) + \pi \left(\frac{R l}{4}\right) \]

Теперь вынесем общий множитель \( \frac{\pi}{4} \):

\[ S_{новый} = \frac{\pi}{4} (R^2 + R l) \]

Мы знаем, что \( R^2 + R l = \frac{12}{\pi} \), поэтому:

\[ S_{новый} = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{12}{\pi} = \frac{12}{4} = 3 \]

Таким образом, площадь полной поверхности отсеченного конуса составляет 3 см².