2cos-6tg=0
Для решения уравнения \(2\cos(x) - 6\tan(x) = 0\), давайте начнём с преобразования этого уравнения.
Переносим \(6\tan(x)\) на правую сторону: \[ 2\cos(x) = 6\tan(x) \]
Делим обе стороны на 2: \[ \cos(x) = 3\tan(x) \]
Заменим \(\tan(x)\) на \(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\): \[ \cos(x) = 3 \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]
Умножим обе стороны на \(\cos(x)\) (при условии, что \(\cos(x) \neq 0\)): \[ \cos^2(x) = 3\sin(x) \]
Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) для подстановки \(\sin(x)\): \[ \sin(x) = 1 - \cos^2(x) \]
Подставим \(\sin(x)\) в уравнение: \[ \cos^2(x) = 3(1 - \cos^2(x)) \] \[ \cos^2(x) = 3 - 3\cos^2(x) \]
Переносим все члены на одну сторону: \[ \cos^2(x) + 3\cos^2(x) - 3 = 0 \] \[ 4\cos^2(x) - 3 = 0 \] \[ 4\cos^2(x) = 3 \] \[ \cos^2(x) = \frac{3}{4} \]
Извлекаем корень: \[ \cos(x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Теперь мы найдем значения \(x\):
Для \(\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Для \(\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Таким образом, общее решение уравнения: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
