В подобных треугольниках АОВ и А101B1 известно, что АО: ОB: AB = 9 :7: 8 и A1O1 + O1B1 = 64. Найти A1B1.

Для решения задачи воспользуемся данными о треугольниках \( АОВ \) и \( А_1О_1B_1 \) и отношением сторон, которое дано как \( АО: OB: AB = 9:7:8 \).

Обозначим длины сторон:

• Пусть \( АО = 9x \),
• \( OB = 7x \),
• \( AB = 8x \).

Согласно условию задачи, сумма \( A_1O_1 + O_1B_1 = 64 \).

Мы также замечаем, что треугольники \( АОВ \) и \( А_1О_1B_1 \) подобны. Это значит, что их стороны пропорциональны. То есть:

\[ \frac{A_1O_1}{AO} = \frac{O_1B_1}{OB} = \frac{A_1B_1}{AB} \]

Пусть \( k \) – коэффициент подобия, тогда: \[ A_1O_1 = k \cdot AO = 9kx \] \[ O_1B_1 = k \cdot OB = 7kx \] \[ A_1B_1 = k \cdot AB = 8kx \]

Подставим значения \( A_1O_1 \) и \( O_1B_1 \) в уравнение для суммы:

\[ 9kx + 7kx = 64 \]

Сложим подобные: \[ 16kx = 64 \]

Теперь найдем \( kx \): \[ kx = \frac{64}{16} = 4 \]

Теперь, чтобы найти \( A_1B_1 \), используем выражение: \[ A_1B_1 = 8kx = 8 \cdot 4 = 32 \]

Таким образом, длина \( A_1B_1 \) равна \( 32 \).