реши систему неравенств: 10(x-1) -(2x+2) (3x-3) >0 x²-(x+2) (x-2) <3x

Давайте решим систему неравенств шаг за шагом.

Первое неравенство: \[ 10(x-1) - (2x+2)(3x-3) > 0 \]

Раскроем скобки:

1. \( 10(x-1) = 10x - 10 \)
2. \( (2x+2)(3x-3) = 6x^2 - 6x + 6x - 6 = 6x^2 - 6 \)

Теперь подставим все это в неравенство: \[ 10x - 10 - (6x^2 - 6) > 0 \] \[ 10x - 10 - 6x^2 + 6 > 0 \] \[ -6x^2 + 10x - 4 > 0 \]

Перепишем это неравенство: \[ 6x^2 - 10x + 4 < 0 \]

Теперь найдем корни квадратного уравнения \( 6x^2 - 10x + 4 = 0 \) с использованием дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 4 = 100 - 96 = 4 \]

Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 2}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 2}{12} = \frac{12}{12} = 1 \]

Теперь проверим знаки на промежутках, определенных корнями \( x = \frac{2}{3} \) и \( x = 1 \):

1. Для \( x < \frac{2}{3} \): Пусть \( x = 0 \). \( 6(0)^2 - 10(0) + 4 = 4 > 0 \) (в этом интервале - положительный знак)
2. Для \( \frac{2}{3} < x < 1 \): Пусть \( x = 0.8 \). \( 6(0.8)^2 - 10(0.8) + 4 = 3.84 - 8 + 4 = -0.16 < 0 \) (в этом интервале - отрицательный знак)
3. Для \( x > 1 \): Пусть \( x = 2 \). \( 6(2)^2 - 10(2) + 4 = 24 - 20 + 4 = 8 > 0 \) (в этом интервале - положительный знак)

Таким образом, первое неравенство выполняется для \( \frac{2}{3} < x < 1 \).

Теперь решим второе неравенство: \[ x^2 - (x+2)(x-2) < 3x \]

Раскроем скобки: \[ (x+2)(x-2) = x^2 - 4 \]

Теперь подставим: \[ x^2 - (x^2 - 4) < 3x \] \[ x^2 - x^2 + 4 < 3x \] \[ 4 < 3x \] \[ \frac{4}{3} < x \]

Таким образом, второе неравенство выполняется для \( x > \frac{4}{3} \).

Теперь объединим результаты:

1. Первое неравенство: \( \frac{2}{3} < x < 1 \)
2. Второе неравенство: \( x > \frac{4}{3} \)

Так как нет пересечения между интервалами, система неравенств не имеет решений.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!