Область значений функции y=-x^2 -2x+a равна (-бесконечность;3]. Найдите коэффициент a.

Для нахождения коэффициента \( a \), сначала определим область значений функции \( y = -x^2 - 2x + a \).

Эта функция является параболой, открытой вниз, поскольку коэффициент при \( x^2 \) отрицателен. Чтобы найти максимальное значение функции, необходимо преобразовать её в стандартный вид, определив вершину параболы.

Форма функции: \[ y = -x^2 - 2x + a \]

Мы можем привести её к виду: \[ y = - (x^2 + 2x) + a \] Теперь мы используем формулу для нахождения координат вершины параболы \( y = ax^2 + bx + c \), где:

• \( x_0 = -\frac{b}{2a} \)

В нашем случае \( a = -1 \) и \( b = -2 \): \[ x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot -1} = 1 \]

Теперь найдем \( y \) в точке \( x_0 \): \[ y(1) = -1^2 - 2 \cdot 1 + a = -1 - 2 + a = a - 3 \]

Поскольку область значений функции равна \( (-\infty; 3] \), максимальное значение функции должно быть равно 3: \[ a - 3 = 3 \] Решая уравнение, получаем: \[ a = 6 \]

Таким образом, коэффициент \( a \) равен \( 6 \).