Решите неравенство x ^ 2 + x >= 0 В ответе укажите номер правильного варианта. 1) (- ∞; - 1] cup[0;+ infty) 2) [-1;0] 3) (-1;0) 4) (- ∞; 0] cup[1;+ infty)

Для решения неравенства \(x^2 + x \geq 0\) начнем с приведения его к стандартному виду.

1. Мы можем переписать неравенство как: \[ x^2 + x \geq 0 \] Это можно factorизовать: \[ x(x + 1) \geq 0 \]

2. Теперь определим нули функции \(x(x + 1)\): \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x + 1 = 0 \implies x = -1 \] Таким образом, нули функции – это \(x = 0\) и \(x = -1\).

3. Далее, мы определим знаки функции в интервалах, образуемых этими нулями:

   • \( (-\infty, -1) \)
   • \( (-1, 0) \)
   • \( (0, +\infty) \)

4. Теперь проверим знаки функции на этих интервалах:

   • Для \(x < -1\) (например, \(x = -2\)): \[ (-2)(-2 + 1) = (-2)(-1) = 2 \quad (положительное) \]
   • Для \(-1 < x < 0\) (например, \(x = -0.5\)): \[ (-0.5)(-0.5 + 1) = (-0.5)(0.5) = -0.25 \quad (отрицательное) \]
   • Для \(x > 0\) (например, \(x = 1\)): \[ (1)(1 + 1) = (1)(2) = 2 \quad (положительное) \]

5. Теперь определяем, где функция неотрицательная:

   • Положительная на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (0, +\infty) \).
   • Включаем границы, где функция равна нулю, т.е. \(x = -1\) и \(x = 0\).

Таким образом, итоговый ответ: \[ x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty) \]

Следовательно, правильный вариант ответа: 1) (- ∞; - 1] ∪ [0;+ ∞).