Tg (a) ctg (a) + ctg² (a)

Чтобы решить выражение \( \tan(a) \cdot \cot(a) + \cot^2(a) \), давайте вспомним определения всех этих функций.

1. \( \tan(a) \) (тангенс угла \( a \)) определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету: \[ \tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)} \]

2. \( \cot(a) \) (косеканс угла \( a \)) - это обратная функция тангенса: \[ \cot(a) = \frac{1}{\tan(a)} = \frac{\cos(a)}{\sin(a)} \]

Теперь подставим эти определения в выражение:

\[ \tan(a) \cdot \cot(a) + \cot^2(a) \]

Для первой части:

\[ \tan(a) \cdot \cot(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)} \cdot \frac{\cos(a)}{\sin(a)} = 1 \]

Следовательно, первая часть равенства равна 1.

Теперь разберёмся со второй частью:

\[ \cot^2(a) = \left(\frac{\cos(a)}{\sin(a)}\right)^2 = \frac{\cos^2(a)}{\sin^2(a)} \]

Теперь объединим оба результата:

\[ \tan(a) \cdot \cot(a) + \cot^2(a) = 1 + \cot^2(a) = 1 + \frac{\cos^2(a)}{\sin^2(a)} \]

Согласно тригонометрическим тождествам, мы знаем, что

\[ 1 + \cot^2(a) = \csc^2(a) \]

Таким образом, окончательный результат будет:

\[ \boxed{\csc^2(a)} \]

Это значит, что конечное выражение, \( \tan(a) \cdot \cot(a) + \cot^2(a) \), равно \( \csc^2(a) \). Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется пояснение к решению, не стесняйтесь обращаться!