Рассмотреть числовой ряд на сходимость

Привет! Давай рассмотрим данный числовой ряд на сходимость.

У нас есть ряд:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3n+1} \]

Для определения сходимости можно использовать признак сравнения или асимптотики.

Обрати внимание на выражение \(\frac{n}{3n+1}\). Сравним его с \(\frac{1}{3}\) при больших n:

• \(\frac{n}{3n+1} \approx \frac{n}{3n} = \frac{1}{3}\).

Можно заметить, что при больших значениях n, \(\frac{n}{3n+1}\) приближается к \(\frac{1}{3}\). Это выражение похоже на гармонический ряд, который известно, что расходится.

Поскольку ряд \(\sum \frac{1}{3} = \infty\) расходится, то и исходный ряд \(\sum \frac{n}{3n+1}\) тоже расходится по признаку сравнения или по асимптотическому признаку.

Если есть ещё вопросы или нужно уточнить что-то, дай знать!