Рассмотреть числовой ряд на сходимость

Привет! Давай разберёмся с этой задачей на сходимость.

У нас есть числовой ряд:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3n+1} \]

Шаги для проверки сходимости:

1. Сравнительный признак сходимости: Рассмотрим ряд вида \(\frac{n}{3n+1}\). Можно упростить выражение, заметив, что для больших \(n\) в числителе и знаменателе доминирует \(n\), так что:

   \[ \frac{n}{3n+1} \approx \frac{1}{3} \]

2. Сравнение с гармоническим рядом: Ряд \(\sum \frac{1}{3}\) является расходящимся, так как похож на гармонический ряд. Следовательно, если существует \(c > 0\) такое, что для всех \(n\) начиная с некоторого момента выполняется:

   \[ \frac{n}{3n+1} \geq c \cdot \frac{1}{n} \]

   Это значит, что ряд \(\sum \frac{n}{3n+1}\) также будет расходиться.

Так что, данный числовой ряд расходится. Если есть вопросы, не стесняйся спрашивать!