Выпишите грамматическую основу в давние времена курильская дуга была связанна с материком

В приведённом вами предложении грамматическая основа такова:

• "Курильская дуга" (подлежащее)
• "была связана" (сказуемое)

Таким образом, полная грамматическая основа: "Курильская дуга была связана".