1. Даны точки А (3; -1; 2), B (5; 1; 1). Найдите: а) длину отрезка АВ; б) координаты точки М середины отрезка АВ; в) координаты вектора АВ; г) координаты точки С, если overline AC…

Конечно! Давайте разберем задания по шагам.

Задание 1:

Даны точки \( A(3; -1; 2) \) и \( B(5; 1; 1) \).

а) Длина отрезка \( AB \):
Длину отрезка можно найти по формуле: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \] Подставляем координаты: \[ AB = \sqrt{(5 - 3)^2 + (1 + 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \]

б) Координаты точки \( M \) (середины отрезка \( AB \)):
Координаты середины рассчитываются по формуле: \[ M\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2}\right) \] Подставляем: \[ M\left(\frac{3 + 5}{2}; \frac{-1 + 1}{2}; \frac{2 + 1}{2}\right) = M\left(4; 0; \frac{3}{2}\right) \]

в) Координаты вектора \( AB \):
Вектор \( AB \) можно определить как: \[ \overline{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (5 - 3; 1 + 1; 1 - 2) = (2; 2; -1) \]

г) Координаты точки \( C \), если \( \overline{AC} = (-4; 0; 2) \):
Координаты точки \( C \) рассчитываются как: \[ C = A + \overline{AC} = (x_A + (-4); y_A + 0; z_A + 2) = (3 - 4; -1 + 0; 2 + 2) = (-1; -1; 4) \]

Задание 2:

Даны векторы \( \overline{a}(-2; 3; 1) \) и \( \overline{b}(4; -1; 2) \).

а) Вектор \( \overline{a} - \overline{b} \): \[ \overline{a} - \overline{b} = (-2 - 4; 3 - (-1); 1 - 2) = (-6; 4; -1) \]

б) Вектор \( 2\overline{a} - \overline{b} \): \[ 2\overline{a} = 2(-2; 3; 1) = (-4; 6; 2) \] \[ 2\overline{a} - \overline{b} = (-4 - 4; 6 - (-1); 2 - 2) = (-8; 7; 0) \]

в) Скалярное произведение векторов \( \overline{a} \) и \( \overline{b} \): \[ \overline{a} \cdot \overline{b} = (-2 \cdot 4) + (3 \cdot (-1)) + (1 \cdot 2) = -8 - 3 + 2 = -9 \]

г) Модуль вектора \( \overline{a} \): \[ |\overline{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \]

д) Координаты вектора \( \overline{d} \), если векторы \( \overline{b} \) и \( \overline{d} \) сонаправлены и \( |\overline{d}| = 2|\overline{b}| \)**: Сначала найдем модуль \( \overline{b} \): \[ |\overline{b}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \] Так как \( \overline{d} \) сонаправлен с \( \overline{b} \), его координаты могут быть выражены как: \[ \overline{d} = k \cdot \overline{b} \] где \( k = 2 \). Таким образом: \[ \overline{d} = 2(4; -1; 2) = (8; -2; 4) \]

е) При каких значениях \( y \) и \( z \) вектор \( \tilde{c}(3/y; z) \) и вектор \( \overline{b} \) будут коллинеарны: Вектора коллинеарны, если одно можно выразить как кратное другого. То есть: \[ \frac{3/y}{4} = \frac{z}{-1} \quad \Rightarrow \quad 3/y = 4k; \quad z = -1k \] Принимаем, к примеру, \( k = 1 \): \[ 3/y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 3/4, \quad z = -1 \]

ж) При каких значениях \( x \) вектор \( t(x; 2; 3) \) и вектор \( \overline{b} \) будут перпендикулярны: Вектора перпендикулярны, если скалярное произведение равно 0. \[ \overline{b} \cdot t = 4x + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x - 2 + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \]

Задание 3:

Дан куб \( ABCDA,B,C,D_1 \).

а) Вектор с началом в точке \( A \), равный вектору \( \overline{AB} \): Вектор \( \overline{AB} = B - A \), если \( A \) и \( B \) имеют известные координаты, то вектор будет равен разности координат.

б) Сумма векторов \( \overline{A_1}C_1 \) и \( \mathbb{C}_1\mathbb{C} \):
Сложите соответствующие координаты этих векторов.

в) Разность векторов \( \overline{B}D_1 \) и \( \overline{B_1}D_1 \):
Для нахождения разности также используйте разность координат.

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другой темой, дайте знать!