Решить задачи: 1) Разность двух чисел равна 7, а их произведение равно 18. Найдите эти числа. 2) Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, а его гипотенуза равна 10 см.…

Давайте разберемся с обеими задачами по очереди.

1. Задача о разности и произведении чисел.

   Пусть два числа – это \( x \) и \( y \). Согласно условиям задачи, у нас есть две уравнения: \[ x - y = 7 \quad (1) \] \[ x \cdot y = 18 \quad (2) \]

   Из уравнения (1) можем выразить \( x \): \[ x = y + 7 \]

   Теперь подставим это значение \( x \) в уравнение (2): \[ (y + 7) \cdot y = 18 \] Раскроем скобки: \[ y^2 + 7y - 18 = 0 \]

   Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 \] Дискриминант положительный, значит, у нас два решения. Находим корни: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 11}{2} \] Это дает два значения: \[ y_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{-18}{2} = -9 \]

   Используя \( y_1 \): \[ x = y + 7 = 2 + 7 = 9 \]

   Попробуем \( y_2 \): \[ x = -9 + 7 = -2 \]

   Таким образом, у нас есть два решения: \( (x, y) = (9, 2) \) и \( (x, y) = (-2, -9) \).

2. Задача о периметре и катетах треугольника.

   Пусть \( a \) и \( b \) – это катеты прямоугольного треугольника. Согласно условиям задачи, у нас есть: \[ a + b + 10 = 24 \quad (3) \] \[ a^2 + b^2 = 10^2 = 100 \quad (4) \]

   Из уравнения (3) выразим \( a + b \): \[ a + b = 14 \]

   Теперь выразим \( b \): \[ b = 14 - a \]

   Подставим \( b \) в уравнение (4): \[ a^2 + (14 - a)^2 = 100 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100 \] Сложим подобные: \[ 2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0 \] Упростим уравнение: \[ 2a^2 - 28a + 96 = 0 \] Разделим все на 2: \[ a^2 - 14a + 48 = 0 \]

   Находим дискриминант: \[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4 \] Теперь находим корни: \[ a = \frac{14 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{14 \pm 2}{2} \] Это дает два значения: \[ a_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad a_2 = \frac{12}{2} = 6 \]

   Подставляем обратно, чтобы найти \( b \): \[ b_1 = 14 - 8 = 6 \quad (a_1, b_1 = 8, 6) \] \[ b_2 = 14 - 6 = 8 \quad (a_2, b_2 = 6, 8) \]

   Ответ: катеты треугольника равны 6 см и 8 см.

Таким образом, мы решили обе задачи! Если у вас будут еще вопросы, пожалуйста, обращайтесь!