6. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а медиана, проведённая к третьей стороне √14 см. Найдите неизвестную сторону треугольника.
Для решения задачи о треугольнике, у которого две стороны равны 6 см и 8 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, равна √14 см, воспользуемся формулой для нахождения длины медианы.
Формула для расчета длины медианы \( m_c \), проведенной к стороне \( c \), выглядит следующим образом:
\[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \]
где \( a \) и \( b \) – длины двух известных сторон, а \( c \) – длина третьей стороны.
В вашей задаче:
- \( a = 6 \) см
- \( b = 8 \) см
- \( m_c = \sqrt{14} \) см
Подставим известные значения в формулу и выразим \( c \):
\[ \sqrt{14} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 8^2 - c^2} \]
Сначала расчетим \( 2 \cdot 6^2 \) и \( 2 \cdot 8^2 \):
\[ 2 \cdot 6^2 = 2 \cdot 36 = 72 \] \[ 2 \cdot 8^2 = 2 \cdot 64 = 128 \]
Теперь подставим эти значения в формулу:
\[ \sqrt{14} = \frac{1}{2} \sqrt{72 + 128 - c^2} \]
Упрощаем:
\[ \sqrt{14} = \frac{1}{2} \sqrt{200 - c^2} \]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 2:
\[ 2\sqrt{14} = \sqrt{200 - c^2} \]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
\[ (2\sqrt{14})^2 = 200 - c^2 \]
Производим расчет:
\[ 4 \cdot 14 = 200 - c^2 \]
Это даст:
\[ 56 = 200 - c^2 \]
Решим уравнение для \( c^2 \):
\[ c^2 = 200 - 56 \] \[ c^2 = 144 \]
Теперь извлечем квадратный корень:
\[ c = \sqrt{144} = 12 \]
Таким образом, неизвестная сторона треугольника равна 12 см.
