Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта A в пункт B , расположенный в 30 км от A . Пробыв в пункте B 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт A в 18:00 того же…
Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта A в пункт B , расположенный в 30 км от A . Пробыв в пункте B 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт A в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.
Для решения задачи о скорости моторной лодки нам нужно рассмотреть несколько ключевых моментов.
Параметры задачи:
- Расстояние от пункта A до пункта B: 30 км.
- Время, проведенное в пункте B: 2 часа 30 минут (это 2.5 часа).
- Время возвращения в пункт A: лодка вышла из пункта B и вернулась в 18:00.
- Время выхода из пункта A: 10:00.
- Скорость течения реки: 1 км/ч.
Определим время в пути:
- Лодка находилась в пункте B с 10:00 до 10:00 + время в пути + 2.5 часа.
- Если лодка вернулась в пункт A в 18:00, то общее время от выхода до возвращения составит 18:00 - 10:00 = 8 часов.
Лодка в пути:
- Обозначим собственную скорость лодки как V км/ч.
- На пути к пункту B лодка движется против течения, поэтому ее скорость относительно земли будет V - 1 (из-за течения).
- На пути обратно лодка движется по течению, тогда скорость будет V + 1.
Составим уравнение:
- Время в пути к пункту B: \[ t_1 = \frac{30}{V - 1} \]
- Время в пути обратно в пункт A: \[ t_2 = \frac{30}{V + 1} \]
Зная, что общее время в пути (вперед и назад) равно 8 часов минус 2.5 часа (время на пункте B): \[ t_1 + t_2 = 8 - 2.5 = 5.5 \text{ часов} \]
Подставим уравнения: \[ \frac{30}{V - 1} + \frac{30}{V + 1} = 5.5 \]
Умножим обе части на (V - 1)(V + 1), чтобы избавиться от дробей: \[ 30(V + 1) + 30(V - 1) = 5.5(V^2 - 1) \] \[ 30V + 30 + 30V - 30 = 5.5V^2 - 5.5 \] \[ 60V = 5.5V^2 - 5.5 \] \[ 5.5V^2 - 60V - 5.5 = 0 \]
Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 11V^2 - 120V - 11 = 0 \]
Используем дискриминант для нахождения V: \[ D = b^2 - 4ac = (-120)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-11) = 14400 + 484 = 14884 \] \[ V = \frac{-(-120) \pm \sqrt{14884}}{2 \cdot 11} \]
Вычислим \( \sqrt{14884} \): \[ \sqrt{14884} \approx 122 \]
Теперь найдем корни: \[ V = \frac{120 \pm 122}{22} \]
Это даст два значения: \[ V_1 = \frac{242}{22} \approx 11 \quad (оптимальный корень) \] \[ V_2 = \frac{-2}{22} \quad (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной) \]
Поэтому собственная скорость лодки составляет примерно 11 км/ч.
