В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3, точка D – середина ребра СС1. Найдите расстояние от вершины С до плоскости ADB1

Чтобы найти расстояние от точки С до плоскости ADB1 в правильной треугольной призме, давайте разобьем задачу на несколько этапов.

1. Определение координат точек

Для начала разместим призму в трехмерной системе координат. Пусть:

• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0) (так как AB = 2)
• C(1, √3, 0) (высота правильного треугольника со стороной 2 равна √3)

Теперь определим верхнюю базу:

• A1(0, 0, 3)
• B1(2, 0, 3)
• C1(1, √3, 3)

Точка D – середина ребра CC1, тогда её координаты будут:

• D(1, √3/2, 1.5)

2. Нахождение уравнения плоскости ADB1

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точки A, D и B1, нужно вычислить векторы AD и AB1.

• Вектор AD:
  \( \vec{AD} = D - A = (1, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1.5) - (0, 0, 0) = (1, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1.5) \)

• Вектор AB1:
  \( \vec{AB1} = B1 - A = (2, 0, 3) - (0, 0, 0) = (2, 0, 3) \)

3. Нахождение нормального вектора к плоскости

Чтобы найти нормальный вектор \( \vec{n} \) к плоскости, мы можем использовать векторное произведение векторов AD и AB1:

\[ \vec{n} = \vec{AD} \times \vec{AB1} \]

Вычислим это:

\[ \vec{n} = | \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1.5 \\ 2 & 0 & 3 \end{array} | \]

Раскроем определитель:

\[ \vec{n} = \hat{i}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3 - 1.5 \cdot 0\right) - \hat{j}\left(1 \cdot 3 - 1.5 \cdot 2\right) + \hat{k}\left(1 \cdot 0 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]

Упрощая, получаем:

\[ \vec{n} = \hat{i}\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right) - \hat{j}\left(3 - 3\right) - \hat{k}\left(\sqrt{3}\right) = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, 0, -\sqrt{3}\right) \]

4. Уравнение плоскости

Теперь у нас есть нормальный вектор \( \vec{n}(A, B, C) \) и точка A(0, 0, 0). Уравнение плоскости можно написать в виде:

\[ \frac{3\sqrt{3}}{2}(x - 0) + 0(y - 0) - \sqrt{3}(z - 0) = 0 \]

То есть:

\[ \frac{3\sqrt{3}}{2}x - \sqrt{3}z = 0 \]

Или, умножив на 2:

\[ 3\sqrt{3}x - 2\sqrt{3}z = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x - 2z = 0 \quad \Rightarrow \quad z = \frac{3}{2}x \]

5. Нахождение расстояния от точки C до плоскости

Подставляем координаты точки C(1, √3, 0) в уравнение плоскости для нахождения расстояния:

Сначала найдем значение LHS:

\[ 3(1) - 2(0) = 3 \]

А затем, используя формулу для расстояния от точки до плоскости:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

где \( A = 3, B = 0, C = -2, D = 0 \):

\[ d = \frac{|3 \cdot 1 + 0 \cdot \sqrt{3} + (-2) \cdot 0|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + (-2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{3}{\sqrt{13}} \]

Таким образом, расстояние от вершины C до плоскости ADB1 равно \( \frac{3}{\sqrt{13}} \).